Урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цели урока:

1. познакомить учащихся с понятиями «арифметическая» и «геометрическая» прогрессии, дать им определения, вывести формулы n-х членов, показать их применение при решении задач;

2. развивать мышление, умение делать умозаключения по аналогии, интерес к предмету, демонстрируя лаконичность и красоту доказательств и решений;

3. воспитывать творческую личность методом активного развития знаний.

Ход урока

1. На уроке мы должны познакомиться с новыми для вас понятиями «арифметическая» и «геометрическая» прогрессии, дать им определения, вывести формулы, рассмотреть решение типичных задач. В учебнике этот материал излагается иначе. Откройте учебник на с.83.Здесь дается арифметическая прогрессия, а потом - геометрическая. Мы будем изучать их параллельно.

2. Начнем с повторения и проверки индивидуального дом. задания.

На прошлом занятии мы рассматривали последовательности.

1. Что такое последовательность?(Ряд чисел, обладающих определенным свойством: число и номер, который оно занимает в этом ряду взаимосвязаны).

2. Какие способы задания числовых последовательностей вы знаете? ( табличный, функциональный, рекуррентный).

3. Последовательность задана формулой: .Укажите 5 ее членов.(1,3,5,7,9).

4. Последовательность представляет собой ряд чисел: . Задайте ее формулой n –го членена.

1. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях встречаются около 2000 лет до н.э.. Исторические сведения о прогрессиях сообщит уч-ся.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

Термин « прогрессия» (от латинского progression, что означает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием(IV в) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Известна Интересная история о знаменитом немецком математике Карле Гауссе(1777-1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить натуральные числа от 1 до 100.Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1 +100, 2+99, и т.д. равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

IV.А теперь настало время выяснить чем арифметическая и геометрическая прогрессии отличаются от других последовательностей.

Класс разбивается на 2группы. Каждой группе предлагается задача, приводящая к арифметической( 1 группа) и геометрической( 2 группа) прогрессии. К ним прилагаются необходимые задания.

З адача 1. Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший а=5 дм, а каждый следующий на 2 дм длине. Записать длину семи стержней.

Задания:

1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи.

2. Записать эту же последовательность с помощью таблицы.

3. Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности.

4. Задать эти последовательности рекуррентным способом.

5. Дать определение арифметической прогрессии.

6. Найти среднее арифметическое чисел 2 и 8.Записать данное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли данные числа арифметическую прогрессию?

7. Справедлива ли такая зависимость для трех членов рассматриваемой последовательности

Задача 2.В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на 2. Записать колонию, рожденную одной бактерией.

Задания:

1.Записать последовательность в соответствии с условием задачи.

1. Записать эту же последовательность с помощью таблицы.

2. Найти частное q от деления последующего члена на предыдущий.

3. Задать эти последовательности рекуррентным способом.

4. Дать определение геометрической прогрессии.

5. Найти среднее геометрическое чисел 2 и 8.Записать данное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли данные числа геометрическую прогрессию?

6. Справедлива ли такая зависимость для трех членов рассматриваемой последовательности?

Сначала учащиеся работают в тетрадях. Затем поочередно вызываются к доске от каждой команды учащиеся, для записи ответов. Ели отвечают ребята из 1 группы, то члены 2 группы записывают все в тетради, если отвечают ребята 2 группы, то члены 1 группы записывают все в тетради:

1. 5;7;9;11413;15;17.

3)а-а=2, а-а=2, …, а-а=d.

4)а=а+2, а=а+2,…, а=а+d.

5)Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,

называется арифметической последовательностью.

6) (2+8):2=5; 2;5;8.

7)(5+9):2=7, (7+11):2=9, …

1. b:b=2, b:b=2, …, b:b=q.

2)

3) b:b=2, b:b=2, …, b:b=q

4)b=b•2, b=b•2, …, b=b•q

5) Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической последовательностью.

6 ) √2∙8=4; 2,4,8.

7 )√1•4=2, √2∙8=4, …

Результатом будет служить таблица, которую мы начнем заполнять на сегодняшнем уроке, а продолжим на последующих (заготовки раздаю всем учащимся).

Древние греки вывели доказательство характеристических свойств, которые и сейчас помогают решать некоторые задачи.

Вывод формул учеником у доски.

Давайте сравним выведенные формулы n-х членов прогрессий. Бросается их сходство. В чем оно выражается? В 1-й формуле разность умножается на n-1, а во 2-й – знаменатель возводится в степень n-1.

Решение типичных задач на применение формул n-го члена для арифметической и геометрической прогрессий тоже аналогично.

Возможные типы задач:

1. Дано: . Найти:.

2. Дано: . Найти:.

3. Дано: . Найти:.

4. Дано: . Найти:.

Дополнительно разобрать задачу.

V. Задание на дом. Выучить основные понятия и вывод формул .