Урок по теме: «Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Тема урока: «Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Цель: выработать навыки применения формулы суммы n-членов арифметической прогрессии.

Задачи:

• Учебная: развить представления учащихся об использовании прогрессии в окружающей их жизни.

• Воспитательная: воспитывать интерес к истории математики, продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры.

• Развивающая: развивать любознательность и вычислительные навыки, продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение. Термин «progression» был введен римским философом и математиком Боэцием (VI в.). Как вы думаете, что означает это слово?

 - «движение вперед», «успех» (на экране-«движение вперед», «успех»)

 Не будем останавливаться и мы, а пойдем вперед в направлении изучения прогрессий.

Чтобы идти вперед, чаще оглядывайтесь назад, ибо вы забудете, откуда вы вышли и куда вам нужно идти. Давайте оглянемся, что на данный момент мы знаем о прогрессиях.

-Как называется прогрессия, которую мы изучаем?

Что мы о ней знаем, выясним в ходе устной работы

II. ЭТАП АКТУАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ.

Являются ли арифметическими прогрессиями последовательности чисел:

    3, 7, 12, … (нет)                28, 31,34…  (да)                    

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите это определение с помощью формулы   на доске и в тетради.

(a_n+1 = a_n + d. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом)

Как называется каждый компонент этой формулы? 

Как найти разность арифметической прогрессии? ( d = a_n+1 - a_n)

Скажите, а какой еще формулой можно задать арифметическую прогрессию? Запишите эту формулу. (  a_n = kn + b. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a_n = kn + b, где kи b – некоторые числа)

Какие из формул задают арифметическую прогрессию: a_n = 5n + 7, a_n=3n²+1, a_n=4 – n³,a_n = 3 – 4n?

Найти 5-ый член числовой последовательности заданной формулой a_n = 5n + 7 (32)

Найти 4-ый член числовой последовательности заданной формулой a_n = 3 – 4n (-13)

Чему равна разность арифметической прогрессии: 1; 4; 7; … (3)

Чему равна разность арифметической прогрессии: 3; 0; -3; -6; … (-3)

Продолжите  арифметическую прогрессию: 28, 31,34… Ответ:  37,40,43…

Найдите пятый член арифметической прогрессии: 3; 7; 11; … (19)

Всегда ли удобен такой способ нахождения неизвестных членов прогрессии?

Чем удобнее воспользоваться?

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. (a_n =a₁ + (n – 1)∙d)

Что означает буква n?

Найдите шестой член арифметической прогрессии, если a₁ = 5a1 d = 3. (20)

Найти 10-ый член арифметической прогрессии, еслиa₉ =34, a₁₁ =58. (46)

Найти 5-ый член арифметической прогрессии, еслиa₄ =-18, a₆ =-24. (-21)

Какой формулой при этом пользовались? (a_n= .

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов)

Найти разность арифметической прогрессии, если a₅ = 13, a₉ =37. (6)

Найдите сумму 10 членов арифметической прогрессии: 17,22,27,32,37,42,47,52,57,62. (395).

III. ЭТАП ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЗНАНИЙ В СТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ. Опрос по домашней работе.Самооценка.

№46

а) 104,112,120,128,…,992. n = 112.

n = 112.

б) 101,113,125,….,989. n = 75.

IV МИНУТКА ОТДЫХА.

Ученик объясняет условие: На экране записано 20 чисел: 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58.

Я не буду на них смотреть. Назовите номер числа, и я мгновенно назову это число. (2-3 числа) Можете объяснить, как мне это удается? (выслушивает версии) Прогрессия здесь задана формулой a_n=3n-2. Мне остается подставить в формулу номер и посчитать.

V ЭТАП ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЗНАНИЙ В НЕСТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ.

Рассмотрим некоторое применение формул к практическим задачам.

Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков.

Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца XVIII–XVIIвеков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.

Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность: 1, 2, 3, 4, …, а сумма этих камушков образует треугольное число.

Треугольное число - это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

Задача1.

При хранении бревен леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 6 бревен?

S = ∙6 = 7 ∙3 = 21.

Задача2.

Витрина магазина: яблоки (15), конфеты (78) и груши (28). (Задачу решают по рядам.)

Следующая задача связана с физикой. № 65 стр. 106.(один человек у доски)

Прочитайте условие задачи и переведите его на язык математики. (a_n) – арифм. прогрессия, a₁ = 30, d = 5, .

Ответ: 10 мин.

VI ЭТАП. ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ

Как видим, арифметическая прогрессия вокруг нас. Есть она и в заданиях государственной итоговой аттестации. А значит, эти формулы нужно знать и уметь применять. Чтобы определить, как вы разобрались в применении формул, предлагаю вам решить следующие задания из открытого банка заданий.

№1. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 3; 1; 5; … Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

а₁ = -3, d = 4, S_n= ( -6 + 59 ∙ 4) ∙ 30 =6900

№2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой d = 0,6, a₁=6,2. Найдите сумму первых 13 её членов.

S_n = (12,4 + 12 ∙0,6) ∙13: 2= 127,4

VII. Практические задания на арифметическую прогрессию.

№1. Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м. Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м больше, чем в предыдущий. Сколько м уложат студенты за 15 дней?

S₁₅ = (6 + 14 ∙ 2) ∙15: 2 = 255(м)

№2. В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 10 - ти рядах?

S₁₀ = (14 + 18) ∙ 5 = 160(мест)

 VIII ЭТАП ОБЪЯСНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

 Домашнее задание:

1. Основное задание:п.16 выучить формулы № 63.

2. Творческое задание:

1. Корни уравнения х² – х – 6 = 0 являются первым и вторым членами убывающей арифметической прогрессии (а_п).

Найдите произведение а₃ ·а_4. 

2.Значения неизвестных системы уравнений являются первым и вторым членом возрастающей арифметической прогрессии (а_п). Найдите сумму п первых членов, если п =

ИТОГ УРОКА, выставление, комментирование оценок за работу на уроке.

Рефлексия.

Я запомнил, что…

Я понял, что…

Мне на уроке …

Думаю, что …