Урок "Степень с рациональным показателем"

Боровицкая Стелла Юрьевна, преподаватель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Загрузить презентацию (177,1 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: обобщающий урок

Основные понятия. Определение степени с целым показателем и ее свойства, определение корня п-ой степени и его свойства, определение степени с рациональным показателем и ее свойства, степенная функция и ее основные свойства.

Самостоятельная деятельность учащихся. Решение задач по теме "Степень с рациональным показателем".

Использование новых информационных технологий. В качестве дополнительного иллюстративного материала показ на интерактивной доске презентации к данному уроку.

План урока

Основное содержание урока

1. Степень с целым показателем

Выражение называется степенью с натуральным показателем. Ясно, что Число a называется основанием степени, а n - показателем степени. Третья степень числа называется кубом, вторая - квадратом. Первой степенью называется само число a.

В параграфе 1.1.2 было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.

Пусть a - любое действительное число; n - натуральное число, большее единицы. n-й степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, что a¹ = a. Число a называется основанием степени, число n - показателем степени.

Справедливы следующие свойства степени:

1. aⁿ · a^k = aⁿ + k.

2. aⁿ : a^k = aⁿ - k, если n  k.

3. (aⁿ)^k = a^nk.

4. aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ.

5. 

Например, 

По определению полагают, что a⁰ = 1 для любого . Нулевая степень числа нуль не определена.

По определению полагают, что если  n - натуральное число, то 

Справедливо равенство Например, 

Совершенно аналогично вводится понятие степени рациональных выражений. Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель:

Пример 1

Преобразовать в дробь степень 

Решение (Приложение 1)

Возведение рациональной дроби в отрицательную степень происходит по следующей формуле: 

Пример 2

Преобразовать в дробь степень 

Решение (Приложение 1)

2. Корень n-й степени

Пусть и Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Это число называетсяарифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа и обозначается  При этом число a называется подкоренным числом, а число n -показателем корня.

Вместо слова "корень" часто говорят радикал. Если n = 2, то обычно пишут просто: При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем, приn = 3 говорят о кубическом корне.

Итак, по определению: 

Отсюда следует, что Например, 

При справедливы следующие свойства корней.

Если a то не существует такого действительного x, при котором бы выполнялось равенство Следовательно, невозможно ввести понятие корня чётной степени из отрицательного числа. Однако определить понятие корня нечётной степени из отрицательного числа всё же возможно. В самом деле, пусть a n - нечётное число, тогда существует единственное число x такое, что Это число и называется корнем нечётной степени из отрицательного числа. Оно обозначается точно так же: Например, так как Для нечётных показателей степени свойства, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений, верны также и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Пример 1

Упростить:

1) 

2) 

3) 

Решение (Приложение 1)

Пример 2

Упростите выражения 1) 2) 3) 

Решение (Приложение 1)

Степень с произвольным показателем

Пусть теперь По определению полагают, что 

Если же a  0, то по определению полагают, что 

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Пример 1

Вычислить

1) 

2) 

3) 

Решение (Приложение 1)

Пусть a  0, b  0, r, s ? любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. a^r · a^s = a^r + s.

2. a^r : a^s = a^r - s. 

3. (a^r)^s = a^rs.

4. a^r · b^r = (ab)^r.

5. 

Пример 2

Упростите выражения

1) 

2) 

Решение (Приложение 1)

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x^a, x  0.

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, подробнее об этом см. курс "Открытая Математика 2.6. Функции и Графики", параграф 2.4.2. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

1. К основным свойствам степенной функции y = x^a при a  0 относятся:

2. Область определения функции - промежуток (0; +).

3. Область значений функции - промежуток (0; +).

4. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

5. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то 

6. График степенной функции при a  0 изображён на рисунке.

Рисунок 2.2.4.1. Степенная функция y = x^a при a  0

Рисунок 2.2.4.2. Степенная функция y = x^a при a 

К основным свойствам степенной функции y = x^a при a 

• Область определения функции - промежуток (0; +).

• Область значений функции - промежуток (0; +).

• Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

• Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то 

• График степенной функции при a 

Справедливы следующие свойства степенной функции:

• 

• 

• если n  k.

• на участке x  1, если 

• на участке 0 x 

Формирование умений и навыков. Отработка изученного материала

1. Ответить на вопросы в виде теста. (Приложение 2)

2. Выполнить самостоятельно задачи и упражнения. (Приложение 3)

3. Домашнее задание. (Приложение 4)

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Решение упражнений и задач, входящих в лекционный материал.

1. Степень с целым показателем

Пример 1

Преобразовать в дробь степень

Решение

Пример 2

Преобразовать в дробь степень

Решение

1. Корень n-ной степени

Пример 1

Упростить: 1) 2) 3)

Решение

Пример 2

Упростите выражения 1) 2) 3)

Решение

1. Степень с произвольным показателем.

Пример 1

Вычислить 1) 2) 3)

Решение

Пример 2

Упростите выражения 1) 2)

Решение

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Вопросы

1. Чему равно значение выражения

Начало формы

1. Выражение равно:

Начало формы

1. Значение выражения равно:

Начало формы

1. Отметьте несуществующее понятие.

Начало формы

1. Выражение не определено при:

Начало формы

1. Выражение не определено при:

Начало формы

1. Выражение равно:

Начало формы

1. Упростите выражение

2. Вычислите

3. Упростите выражение

4. Вычислите

5. Вычислите

6. Вычислите

7. Вычислите

8. Каков дробный показатель степени у выражения

9. Каков дробный показатель степени у выражения

10. Вычислите

11. Выполните указанные действия:

12. Выполните указанные действия:

13. Выполните указанные действия:

14. Выполните указанные действия:

2. Вычислите Конец формы

Конец формы

Конец формы

Конец формы

Конец формы

Конец формы

Конец формы

1. Вычислите

2. Упростите выражение