Усеченный конус

Усечённый конус

конус

β

усечённый конус

P

боковая поверхность

основания

конуса

O 1

r 1

D

A

высота усечённого конуса

образующая

O

r

C

B

4

O 1

O 1

A 1

A 1

O

A

O

A

O 1

B 1

ось усечённого конуса

O 1

A 1

B 1

A 1

осевое сечение

B

O

A

B

O

A

АА 1 В 1 В — равнобедренная трапеция

и осевое сечение усечённого конуса

r О и О 1 — центры оснований Доказать: S бок = π( R + r ) l Доказательство: O 1 r S = πRL A 1 π R(PA 1 + AA 1 ) – π r · PA 1 S бок = π R · PA – π r ∙ PA 1 = AA 1 = l S бок = πRl + π(R – r) PA 1 Выразим PA 1 через l , R и r O ∆ РО 1 А 1 ∼ ∆РОА, (Р — общий) ⇒ R A ⇒ S бок = π( R + r ) l " width="640"

Дано:

P — вершина конуса

P

AA 1 — образующая усечённого конуса

R r

О и О 1 — центры оснований

Доказать: S бок = π( R + r ) l

Доказательство:

O 1

r

S = πRL

A 1

π R(PA 1 + AA 1 ) – π r · PA 1

S бок = π R · PA – π r ∙ PA 1 =

AA 1 = l

S бок = πRl + π(R – r) PA 1

Выразим PA 1 через l , R и r

O

∆ РО 1 А 1 ∼ ∆РОА, (Р — общий) ⇒

R

A

⇒ S бок = π( R + r ) l

Y

X

O

R

r

E

d

C

l

H

D

A

B

Задача

Дано:

усечённый конус

O 1

B 1

R = 11 см

r = 5 см,

5 см

l = 10 см

A 1

Найти: а) h, б) S сеч.

Решение:

а) А 1 О 1 = 5 см,

АО = 11 см

10 см

А 1 P = ОО 1 = h — высота

h

ΔА 1 P А — прямоуг., ∠ P = ∠90°

А P = АО – P О = АО – А 1 О 1 = 11 – 5 = 6 (см)

B

А P = 6 см, А 1 А = 10 см

O

11 см

P

ОО 1 = А 1 В = 6 см ,

А 1 В 1 = 2 А 1 О 1 = 10 (см)

A

АВ = 2 АО = 22 ( см )