Устная работа по теме: "Применение производной к исследованию функции"

Устная работа по теме: Применение производной к исследованию функции

5 сентября 2025

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 , x 9 . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x)  отрицательна .

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . 

Найдите значение производной функции f(x)  в точке x 0 .

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек:  x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) положительна.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . 

Найдите значение производной функции f(x)  в точке x 0 .

На рисунке изображён график y=f '(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 9; 4). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . 

Найдите значение производной функции f(x)  в точке x 0 .

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки − 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

На рисунке изображён график y=f '(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 9; 3). В какой точке отрезка [− 7; − 5] функция f(x) принимает наибольшее значение?

На рисунке изображён график y=f '(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 20; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 16; 1].

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Найдите точку минимума функции y=x 2  −28x+96lnx+31.

Найдите наибольшее значение функции y=10cosx+14x+9 на отрезке [0;  ].

Найдите наименьшее значение функции y=10cosx−14x+5 на отрезке [− ; 0].

Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+9) 5 −5x на отрезке [− 8,5; 0].

Найдите точку максимума функции y=3,5x 2  −29x+30⋅lnx+67.

На рисунке изображён график функции вида f(x)=log a x. Найдите значение f(8).

На рисунке изображены графики функций видов f(x)=и g(x)= a x+ b , пересекающиеся в точках A и B.

Найдите абсциссу точки B.

На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x . 

Найдите значение f(-3). 

На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax 2 +bx+c. 

Найдите значение f(-2). 

На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x . 

Найдите значение f(5). 

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S —  целое  число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Месяц и год

Долг

Июль 2016

S

(в млн рублей)

Июль 2017

0,6 S

Июль 2018

Июль 2019

0,25 S

0

Планируется выдать льготный кредит на  целое  число миллионов рублей на пять лет.

В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года.

В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному.

В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.

Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на  r  % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку  r , если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят  t 2  тыс. рублей в конце года  t  (  t =1; 2; …  ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%.

В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?