Вариант 3: Тренировочный вариант ОГЭ по математике 2018г.

Вариант № 3

1. Задание 1 

Укажите наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

2. Задание 2 

Куриные яйца в за­ви­си­мо­сти от их массы под­раз­де­ля­ют на пять категорий: высшая, отборная, первая, вто­рая и третья. Ис­поль­зуя данные, пред­став­лен­ные в таблице, определите, к какой ка­те­го­рии от­но­сит­ся яйцо, массой 35,5 г.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) от­бор­ная

2) пер­вая

3) вторая

4) третья

3. Задание 3 

На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этого числа яв­ля­ет­ся верным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) 

4. Задание 4

Значение ка­ко­го из вы­ра­же­ний является чис­лом рациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) 

5. Задание 5

На ри­сун­ке показано, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цельсия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние температуры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цельсия.

6. Задание 6 

Найдите корни урав­не­ния .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

7. Задание 7 

В го­ро­де 70 000 жителей, при­чем 39% – это пенсионеры. Сколь­ко при­мер­но че­ло­век со­став­ля­ет эта ка­те­го­рия жителей? Ответ округ­ли­те до тысяч.

8. Задание 8 

На диа­грам­ме по­ка­зан воз­раст­ной со­став на­се­ле­ния Японии. Опре­де­ли­те по диаграмме, на­се­ле­ние ка­ко­го воз­рас­та преобладает.

1) 0−14 лет

2) 15−50 лет

3) 51−64 лет

4) 65 лет и более

9. Задание 9 

У ба­буш­ки 20 чашек: 5 с крас­ны­ми цветами, осталь­ные с синими. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цветами.

10. Задание 10 

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

B) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

11. Задание 11 

Последовательность за­да­на фор­му­лой . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности?

12. Задание 12 

Найдите зна­че­ние выражения  при 

13. Задание 13 

В фирме «Чистая вода» сто­и­мость (в рублях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где   — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье колодца. Поль­зу­ясь этой формулой, рас­счи­тай­те стоимость ко­лод­ца из 11 колец.

14. Задание 14

Решите си­сте­му не­ра­венств 

На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство её решений?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

15. Задание 15 

Найдите пе­ри­метр прямоугольного участ­ка земли, пло­щадь которого равна 800 м² и одна сто­ро­на в 2 раза боль­ше другой. Ответ дайте в метрах.

16. Задание 16 

ABCDEFGHIJ — правильный десятиугольник. Найдите угол ECI. Ответ дайте в градусах.

17. Задание 17

Найдите  ∠KOM, если гра­дус­ные меры дуг  KO  и  OM  равны 112° и 170° соответственно.

18. Задание 18 

В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

19. Задание 19 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне .

20. Задание 20

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать в окружность.

2) Все углы ромба равны.

3) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 существует.

21. Задание 21 

Решите уравнение 

22. Задание 22 

По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют пас­са­жир­ский и то­вар­ный по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 50 км/ч и 40 км/ч. Длина то­вар­но­го по­ез­да равна 1350 мет­рам. Най­ди­те длину пас­са­жир­ско­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он прошёл мимо то­вар­но­го по­ез­да, равно 9 ми­ну­там.

23. Задание 23 

Постройте график функции  Определите, при каких значениях k прямая y = kxимеет с графиком ровно одну общую точку.

24. Задание 24

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 5,25, а AB = 9.

25. Задание 25 

Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник.

26. Задание 26 

Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 7,5 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ключ

Задание 21

Раскладывая на мно­жи­те­ли левую часть уравнения, по­лу­ча­ем   Таким образом, корни урав­не­ния  

Ответ: −3, 3, −5.

Задание 22 

Решение.

Пассажирский поезд дви­жет­ся от­но­си­тель­но то­вар­но­го со ско­ро­стью 50 − 40 = 10 км/ч. Про­е­за­жая мимо то­вар­но­го по­ез­да пас­са­жир­ский про­ез­жа­ет от­но­си­тель­но­го него  Следовательно, длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да со­став­ля­ет 1500 − 1350 = 150 м.

Ответ: 150.

Задание 23 

Решение.

Упростим вы­ра­же­ние для функции:

 (при).

Таким образом, получили, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­той точ­кой 

Построим гра­фик функ­ции (см. рисунок).

Заметим, что пря­мая  про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и найдём ко­эф­фи­ци­ент 

Ответ: .

Задание 24 

Решение.

Пусть О — центр окружности. Ра­ди­ус окружности, проведённый в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен касательной. По­это­му тре­уголь­ник OBA — прямоугольный. Найдём OA по тео­ре­ме Пифагора:

Следовательно, длина сто­ро­ны  равна 

Ответ: 12.

Задание 25 

Решение.

Рас­смот­рим ма­лень­кие тре­уголь­ни­ки  и  ,  следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу. Ана­ло­гич­но равны между собой и осталь­ные ма­лень­кие треугольники. Сле­до­ва­тель­но 

Любой угол пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка равен  Тре­уголь­ни­ки и  — равнобедренные, углы при ос­но­ва­ни­ях равны  Рас­смот­рим развёрнутый угол 

Аналогично все осталь­ные углы вось­ми­уголь­ни­ка  равны  сле­до­ва­тель­но восьми­уголь­ник  — правильный.

Задание 26 

Решение.

Введём обозначения, приведённые на рисунке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окружностей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки подобны:

Отсюда следует, что ра­ди­ус впи­са­ной окружности:

Ответ: 4,8.