Аксиомы
Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
Через любую точку проходит более одной прямой.
Через любую точку проходит не менее одной прямой.
Через любые две точки можно провести прямую.
Через любые три точки проходит не более одной прямой.
Через любые три точки проходит не более одной прямой.
Углы
Вертикальные углы равны.
Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
Сумма смежных углов равна 180°.
Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.
Треугольники
Сумма углов любого треугольника равна 180° .
Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)
Напротив равных углов лежат равные стороны.
Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).
Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).
Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)
Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.
Четырехугольники
Сумма углов четырехугольника равна 360°.
Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противолежащие углы равны.
В параллелограмме противолежащие стороны равны.
В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°.
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, из которых они выходят, этот параллелограмм является ромбом.
Если в параллелограмме диагонали равны, этот параллелограмм является прямоугольником.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, этот прямоугольник является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
Диагонали ромба перпендикулярны.
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
Трапеция – четырехугольник две стороны которого параллельны, а две другие нет.
У равнобедренной трапеции диагонали равны.
У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.
Окружности
В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
Все диаметры окружности равны между собой.
Все радиусы окружности равны между собой.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).
В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.
Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Через любые три точки проходит не более одной окружности.
Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.
Симметрия
Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.
Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.
33 062
546 
