Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

Алгебра 7 класс.

Открытый урок по теме

«ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ».

Тип урока: урок изучения нового материала (урок-путешествие, урок-исследование).

Вид урока: проблемно-поисковый.

Цели урока:

Образовательные:

- вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел.

- сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения выражений.

Развивающие:

-развивать логическое мышление, внимание, память, сообразительность, культуру математической речи и культуру общения;

Воспитывающие:

-воспитывать ответственное отношение к деятельности, высокой познавательной активности и самостоятельности;

-воспитывать интерес к математике как учебному предмету через современные технологии преподавания;

- воспитывать чувство ответственности, культуры диалога.

Формы организации познавательной деятельности:

фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.

Методы и приёмы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемно-поисковый, исследовательский, словесный, наглядный (демонстрация компьютерной презентации), практический.

Оборудование:

-компьютер, мультимедийный проектор, экран, портрет Евклида, набор геометрических фигур, раздаточный материал.

Средства обучения:

Программное обеспечение:

Microsoft Office Word 2007 Microsoft Office Word 2010

Microsoft Office Power Point 2007 Microsoft Office Power Point 2010

План урока:

• Организационный момент.

• Актуализация опорных знаний (устная работа).

• Изучение нового материала (исследовательская работа)

• Физкультминутка.

• Геометрический смысл формулы квадрата суммы двух выражений.

• Закрепление изученного материала.

• Проверка усвоения изученного материала (первичный контроль знаний).

• Подведение итога урока.

• Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя.

Французский писатель XIX столетья Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшем.

Сегодня мы с вами отправимся в путешествие в один из уголков страны «Алгебра», в край «Многочлены».

Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня мы с вами познакомимся с двумя из этих формул.

Но нельзя идти в гости, не зная порядков и законов страны. Давайте проверим, как мы с вами готовы к такому путешествию. В той стране много всяких диковинных названий. Давайте их вспомним.

1. Актуализация опорных знаний (устная работа).

«Вопрос – ответ».

--- Что называют одночленом?

( произведение чисел, переменных и их степеней ).

--- Какие слагаемые называются подобными?

( слагаемые с одинаковой буквенной частью ).

--- Что называют многочленом?

( сумму одночленов ).

--- Как умножить степени с одинаковыми основаниями?

( основание оставить тем же, а показатели степеней сложить ).

--- Как возвести произведение в степень?

( возвести в данную степень каждый множитель и результаты перемножить ).

Итак, отправимся в путешествие. В краю «Многочлены» мы познакомимся с математическими лабораториями и примем участие в их исследованиях.

Лаборатория – специальное помещение для научных исследований.

Но прежде всего, необходимо пройти испытания, которые будут служить нам пропуском в эти лаборатории.

«Испытания».

1-е испытание.

Прочитайте выражение:

а) а + b ; г) x – у ; б) n² + m² ; д) (z –a)²;

в) (c + d)² ; е) b² – c²; ж) 2ху.      

-  что значит: (c + d)² ; (z –a)² (значит, выражение умножается на себя два раза).

2 – испытание.

Найдите квадраты выражений: a; - 2 ; 5b ; 4х², 6х² у^3.

(вспомнить правило возведения в степень произведения).

3 – испытание.

Найдите удвоенное произведение выражений:

а) а и b; б) 3b и -5с; в) 0,4х и 2х²; г) и 6 .

III. Изучение нового материала.

Лаборатория науки.

Перед нами лаборатория науки. Давайте примем участие в исследованиях этой лаборатории.

Исследовательская работа.
Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой. Каждой группе предлагается заполнить на доске две строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке. После того как ребята справились с заданиями, один из них выходит к доске и записывает в правом столбце таблицы полученный ответ. Средняя часть таблицы закрыта бумажной полосой.

Задание: Найти произведение данных многочленов.

1 группа: 2 группа: 3 – группа:

(у+в)(у+в) (x+2)(x+2) (m-n)(m-n)

(с+d)(с+d) (x-у)(x-y) (a-2)(а-2)

--- Ребята, посмотрите внимательно на I и III столбцы.

--- Есть ли в них нечто общее в условиях? ( произведение двух одинаковых двучленов ).

--- Можно ли выражения I cтолбца записать короче? ( можно ).

Получив ответы, учитель открывает II столбец.

--- Что общего в полученных результатах?

--- Результатом умножения является трехчлен, у которого:

1-й член – квадрат первого выражения;

2-й член – удвоенное произведение первого и второго выражений;

3-й член – квадрат второго выражения.       

- Мы с вами нашли наиболее простой способ умножения суммы и разности двух выражений на себя, т.е. вывели формулы возведения в квадрат суммы и разности двух выражений.

--- Давайте сформулируем тему нашего сегодняшнего урока.

Запишите число, тему урока в тетрадь.

--- Скажите, как проще и быстрее вам было работать: перемножая многочлен на многочлен или применяя формулы?

--- Попробуйте записать формулы, которыми будем пользоваться для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений.

(а+b)² =а²+2аb+b² (a-b)²=a²-2ab+b²

--- Чем они отличаются? (знаком перед удвоенным произведением).

--- Сформулируйте эти формулы словесно.

--- Эти формулы называются формулами сокращенного умножения, они применяются для упрощения выражений, для рационального решения некоторых числовых выражений.

IV. Физкультминутка.

Цель: создать здоровьесберегающие моменты на уроке.

Учитель. Предлагает упражнения для глаз и для улучшения мозгового кровообращения.

• Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторить 4- 5 раз.

• В среднем темпе проделать 3- 4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1- 6. Повторить 1-2 раза.

• И.п. – сидя на стуле.

1- 2 – отвести голову назад и плавно наклонить назад;

3- 4 – голову наклонить вперед, плечи не поднимать.

Повторить 4- 6 раз. Темп медленный.

V. Геометрический смысл формулы квадрата суммы двух выражений.

Лаборатория «Исторические факты».

А это лаборатория исторических фактов. Предоставим слово сотрудникам этой лаборатории.

--- Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «а∙b», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b». Например, тождество (а + b)² = а² + 2аb + b² во второй книге «Начал» Евклида (3 в до н.э.) формулировалось так: «Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка». Доказательство опиралось на геометрическое соображение.

А теперь давайте и мы с помощью рисунка объясним геометрический смысл формулы

(а + b)² = а² + 2аb + b².

--- Объясните геометрический смысл выражения (а+в)²  (площадь квадрата со стороной a+b). (У каждого ученика – вырезанные из бумаги 2 квадрата со сторонами а и b и 2 прямоугольника со сторонами a и b). Каждый моделирует свой квадрат.

--- Чему равна площадь полученного квадрата? (Сумме площадей квадрата со стороной а, двух площадей прямоугольника со сторонами а и в и площади квадрата со стороной в).

VI. Закрепление изученного материала.

«Лаборатория знаний".

А в этой лаборатории нам предстоит показать знания по изученной теме.

Чтение правил по учебнику, парный пересказ правил.

Разделим каждое правило черточками на отдельные указания.

Квадрат суммы двух выражений // равен квадрату первого выражения // плюс удвоенное произведение первого и второго выражений // плюс квадрат второго выражения.

Квадрат разности двух выражений // равен квадрату первого выражения // минус удвоенное произведение первого и второго выражений // плюс квадрат второго выражения.

Примеры применения формул.

Учитель даёт образец выполнения упражнения с помощью подготовленного к работе правила:

а) (2x+3)² = (2x)²+22x3+3² = 4x²+12x+9

b) (7y-6)² = (7y)²-27y6+6² = 49y²-84y+36

В соответствии с образцом, указанным учителем, вызванный ученик читает правила по учебнику и, останавливаясь после каждой чёрточки, выполняет соответствующую часть упражнения:

«Квадрат суммы двух выражений (убеждается, что дан именно квадрат суммы

(х² + 2хy)², а не что-либо другое) равен квадрату первого выражения (записывает: (х²)²) плюс удвоенное произведение первого и второго выражений (выполняет это указание: 2 (х²) (2 хy) плюс квадрат второго выражения (записывает: (2 хy)² и упрощает полученное выражение х⁴ + 4 х³y + 4 х²y²)

Остальные следят за работой отвечающего на доске:

а) (х² + 2хy)²

б) (8х + 3)²

в) (10х – 7 y)²

№799 (а-г);

№803 (а,б,г).

VII. Проверка усвоения изученного материала (первичный контроль знаний).

Тест. Раскройте скобки.

VIII. Итог урока:

Итак, наше путешествие подошло к концу. Мы успешно поработали в лабораториях, а теперь подведем итог нашему уроку.

--- Какие две новые формулы мы сегодня изучили?

--- Чему равен квадрат суммы двух выражений?

--- Чему равен квадрат разности двух выражений?

--- Как вы думаете, зачем нам эти две формулы и стоит ли их запоминать?

( с помощью формул результат можно получить гораздо проще и быстрее ).

Благодарю вас за работу и желаю успехов при выполнении домашнего задания.

IX. Домашнее задание:

  п. 31, доказать геометрический смысл формулы (a-b)²,

№863(а, б, в, д); 866, №869(д, е).

X. Окончание урока

Притча: Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил «Что ты делал целый день? И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил камни. У второго мудрец спросил «А что ты делал целый день?» и тот ответил «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием «А я принимал участие в строительстве храма»

• Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

• Кто возил камни? (поднимают жёлтые жетоны)

• Кто добросовестно работал? (поднимают синие жетоны)

• Кто строил храм? (поднимают красные жетоны)