Вписанная окружность

Вписанная окружность

Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Док-во:

1. О - точка пересечения биссектрис

ОК┴АВ, ОМ┴АС, ОL┴ВС ОК=ОМ=ОL

К, М, L окр(О; R=ОК)

1. АВ┴ ОК, АС┴ОМ, ВС┴ ОL стороны ∆ АВС касаются окр. в точках К, М, L

окр. вписана в ∆ АВС.

Замечания:

1. В треугольник можно вписать только одну окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема 2. В любом описанном четырехугольнике суммы

противоположных сторон равны.

AB + CD = ВC + AD

Обратная теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого

четырехугольника равны, то в него можно вписать

окружность.