Описанная и вписанная окружности

Описанная и вписанная окружности

ГБОУ СПО «Санкт-Петербургский издательско-полиграфический техникум»

Щадин Андрей Викторович

Содержание:

Окружность называется  вписанной в угол , если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется  вписанной в выпуклый многоугольник , если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.  Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.  Для треугольника это всегда возможно.

Окружность называется  вписанной в треугольник , если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

• Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
• В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра:  r = S/p  , где S - площадь треугольника, а  p=(a+b+c)/2  - полупериметр треугольника.

Окружность называется  описанной около треугольника , если она проходит через три его вершины.

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
• В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
• Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника:  R = , где S - площадь треугольника.

Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется  вневписанной .

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

• Радиус вписанной окружности находят по формулам:  , где  a и b  катеты прямоугольного треугольника, а  c  гипотенуза прямоугольного треугольника

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

• Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
• Радиус равен половине гипотенузы:  R = C /2 .
• Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе:  R = m c   .

Четырехугольник, описанный около окружности

• Четырехугольник  ABCD  можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны  AB + CD = BC + AD.
• Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
• Площадь:  S = pr , где  r  - радиус вписанной окружности, а  - полупериметр.

Четырехугольник, вписанный в окружность

• Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна 
• Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны  180° .
• Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника  ABCD  равна произведению диагоналей:  AB · DC + AD · BC = BD · AC .
• Площадь:    , где  - полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

• В любой ромб можно вписать окружность.
• Радиус  r  вписанной окружности:  r = h/2 , где  h  - высота ромба или  , где  a  - сторона ромба,  d 1  и  d 2  - диагонали ромба

• Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам;
• Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы;
• Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная;
• Если окружность описана около произвольного четырёхугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой: α+β=ϕ+ψ

• Центр окружности, вписанной в треугольник, ежит на пересечении биссектрис треугольника;

• Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон между собой: a + b = c + d.