Вписанная окружность

Дата:

Тема: ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Задачи: ввести понятие вписанной окружности, закрепить полученные знания в ходе решения задач.

Ход урока

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Сегодня мы начинаем изучать новую тему «Вписанная и описанная окружность». Перед этим проверим, насколько хорошо вы усвоили темы прошлых уроков. Выполните небольшую самостоятельную работу по вариантам.

1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Откройте свои тетради и запишите сегодняшнее число и тему.

Попрошу вас перейти по ссылке и посмотреть объяснение нового материала. Установите время на видео 11:05, в этот момент начинается урок геометрии.

http://1tvcrimea.ru/content/domashnee-zadanie-8-klass-istoriya-geometriya-informatika-vypusk-ot-9042020

Выполните необходимый для вас конспект, приведенный ниже.

Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

ABCDE — описанный около окружности с центром О пятиугольник. Окружность с центром О вписана в пятиугольник ABCDE. АВ, ВС, CD, DE, АЕ касаются окружности.

НО. Окружность с центром Q не вписана в четырехугольник ABCD, так как CD не касается окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. И при том только одну.

1) Центр вписанной в треугольник окружности в точке пересечения биссектрис;

2) ОМ = ON = ОK= r – радиусы вписанной окружности.

Формула. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

,

где r – радиус вписанной окружности, P – периметр треугольника.

Замечание. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

И наоборот. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Откройте учебники на странице 182 и выполним все вместе № 690. Прочтите внимательно условие задачи. Давайте выполним рисунок и оформим краткую запись к задаче.

№690.

Дано: ABC – равнобедренный треугольник, О – центр вписанной окружности, BD – высота, BO:OD=12:5, АВ=ВС=60 см.

Найти: АС.

Решение.

Т.к. треугольник равнобедренный, то BD – высота, биссектриса, медиана.

Рассмотрим отношение BO:OD=12:5. Пусть k – одна часть этого отношения, тогда BO=12k, OD=5k.

ОМ=ОD как радиусы этой окружности, значит ОМ=5k.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ВDС и ВМО. У них общий угол В, и углы BCD=BOM равны между собой (по сумме острых углов), а это значит,  ВDС  ВМО по первому признаку. Значит их стороны пропорциональны, получим:

Из прямоугольного треугольника ВDС по теореме Пифагора имеем:

Вернемся к отношению сторон и подставим вместо сторон их значения:

После сокращения и домножения на k, получим:

625 = 3600 – 289k², откуда выразим

Теперь подставим это значение для нахождения DC:

И так как АС=2 DC, то АС=50 см.

Ответ: 50 см.

№ 693 (а).

Дано: АВС – прямоугольный треугольник, О – центр вписанной окружности, АВ=26 см, r=4 см.

Найти: Р.

Решение. Докажем, что четырехугольник KONC – квадрат.

АС || ОN, так как АС  СВ и ON  CВ,

СВ || ОK, так как СВ   АС и OK   АС,

значит, четырехугольник KONC – прямоугольник, а так как KО=CN=r=ON=KC, то KONC – квадрат.

АKО =  АМО (по катету и гипотенузе), поэтому АK = АМ.

ВNO =  ВМО (по катету и гипотенузе).

Распишем периметр треугольника АВС:

Р_АВС = 2(АВ + СN) = 2(26 + 4) = 60 (см)

Ответ: 60 см.

1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Ответьте устно на вопросы:

Когда окружность можно вписать в треугольник?

В любой ли четырехугольник можно вписать окружность?

В каком случае в четырехугольник можно вписать окружность?

Домашнее задание: №689, 693(б).