Взаимное расположение прямых в пространстве

ГЕОМЕТРИЯ

10 КЛАСС

Учитель математики:

Рыбникова Екатерина Эдуардовна

§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

7. Скрещивающиеся прямые

a

a b

М

b

Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

D

?

АВ СD

В

C

А

2

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

b

b

a

a

М

а II b

а b

b

a

а b

3

Теорема о скрещивающихся прямых: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

A

B

С

E

D

4

Задача: Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.

Построение:

b

а

• Через точку К провести прямую а 1 || а.

2. Через точку К провести прямую b 1 || b.

3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α.

α – искомая плоскость.

К

а 1

b 1

α

5

Каково взаимное положение прямых

1) AD 1 и МN; 2) AD 1 и ВС 1 ; 3) МN и DC?

B 1

С 1

А 1

N

D 1

В

С

M

D

А

5

Укажите ребра, скрещивающихся с ребром:

а) ВС; б) АА 1

б) В 1 С 1 , ВС .

Ответ: а) А 1 В 1 , A 1 С 1 , АА 1 ;

5

Укажите ребра, скрещивающихся с ребром:

а) ВС; б) АА 1

Ответ: а) А 1 В 1 , A 1 С 1 , АА 1 ;

б) В 1 С 1 , ВС .

5

граница

8. Углы с сонаправленными сторонами

Любая прямая а , лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

полуплоскость

полуплоскость

а

5

Сонаправленные лучи

Два луча ОМ и АС, не лежащие на одной прямой , называются сонаправленными , если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОА

Лучи, лежащие на одной прямой , называются сонаправленными , если они совпадают или один из них содержит другой

Н

Лучи ОМ и АС – сонаправлены

Лучи ВР и КР – сонаправлены

О

М

Т

С

А

Являются ли сонаправленными лучи КР и ОМ, АС и ТН?

Р

В

К

Лучи КР и ОМ, АС и ТН – не являются

сонаправленными

5

Теорема об углах с сонаправленными сторонами : Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны

 О =  О1

О

О 1

5

9. Угол между прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным 0 0

a

b

12

В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми A 1 C 1 и B 1 D 1 .

Ответ: 90 o

12

В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC.

Ответ: 90 o

12

В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ: 45 o

12

В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1 .

Через точку A проведем прямую AD 1 , параллельную BC 1 .

Искомый угол равен углу B 1 AD 1 .

Треугольник B 1 AD 1 – равносторонний.

Следовательно, искомый угол равен 60 о .

Ответ: 60 о

12

ЗАДАНИЕ В КЛАССЕ

№

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Выучить конспект, №

12