ГЕОМЕТРИЯ
10 КЛАСС
Учитель математики:
Рыбникова Екатерина Эдуардовна
§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости
7. Скрещивающиеся прямые
a
a b
М
b
Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
D
?
АВ СD
В
C
А
2
Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве
b
b
a
a
М
а II b
а b
b
a
а b
3
Теорема о скрещивающихся прямых: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
A
B
С
E
D
4
Задача: Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.
Построение:
b
а
- Через точку К провести прямую а 1 || а.
2. Через точку К провести прямую b 1 || b.
3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α.
α – искомая плоскость.
К
а 1
b 1
α
5
Каково взаимное положение прямых
1) AD 1 и МN; 2) AD 1 и ВС 1 ; 3) МN и DC?
B 1
С 1
А 1
N
D 1
В
С
M
D
А
5
Укажите ребра, скрещивающихся с ребром:
а) ВС; б) АА 1
б) В 1 С 1 , ВС .
Ответ: а) А 1 В 1 , A 1 С 1 , АА 1 ;
5
Укажите ребра, скрещивающихся с ребром:
а) ВС; б) АА 1
Ответ: а) А 1 В 1 , A 1 С 1 , АА 1 ;
б) В 1 С 1 , ВС .
5
граница
8. Углы с сонаправленными сторонами
Любая прямая а , лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.
полуплоскость
полуплоскость
а
5
Сонаправленные лучи
Два луча ОМ и АС, не лежащие на одной прямой , называются сонаправленными , если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОА
Лучи, лежащие на одной прямой , называются сонаправленными , если они совпадают или один из них содержит другой
Н
Лучи ОМ и АС – сонаправлены
Лучи ВР и КР – сонаправлены
О
М
Т
С
А
Являются ли сонаправленными лучи КР и ОМ, АС и ТН?
Р
В
К
Лучи КР и ОМ, АС и ТН – не являются
сонаправленными
5
Теорема об углах с сонаправленными сторонами : Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны
О = О1
О
О 1
5
9. Угол между прямыми
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным 0 0
a
b
12
В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми A 1 C 1 и B 1 D 1 .
Ответ: 90 o
12
В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC.
Ответ: 90 o
12
В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .
Ответ: 45 o
12
В кубе AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1 .
Через точку A проведем прямую AD 1 , параллельную BC 1 .
Искомый угол равен углу B 1 AD 1 .
Треугольник B 1 AD 1 – равносторонний.
Следовательно, искомый угол равен 60 о .
Ответ: 60 о
12
ЗАДАНИЕ В КЛАССЕ
№
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Выучить конспект, №
12