Задача максимизации прибыли

ББК 65.050

ЗАДАЧА МАКСИМИЗАЦИИ ПРИБЫЛИ

А.С. Тирский, старший преподаватель кафедры «Естетственных и технических наук»,

А.С.Григорян, студент группы Эк 10 Олёкминский филиал
ФГБОУ ВПО Якутская ГСХА»,, г. Олёкминск

Как известно, математика в становлении всей экономической теории сыграла значительную роль . Практически все экономические процессы можно описать средствами математики, в частности функциональными методами. Более того , большинство экономических законов изначально выводились именно математическими способами. В наше время математика по прежнему шагает в ногу с экономикой ( равно как и с другими науками ) и упрощает и усовершенствует решение многих экономических задач. Одной из наиболее важных задач ,решаемых математическим способом является решение задачи на предельный анализ экономических процессов , те на нахождение наибольших или наименьших значений экономических величин(предельные задачи). Таких задач достаточно много и все они решаются средствами математического анализа ,а именно дифференциального исчисления . Следует заметить ,что решение таких задач может использоваться не только в теоретических исследованиях ,но и в профессиональной деятельности. Рассмотрим одну из таких задач, а именно задачу «Максимизации прибыли».

Пусть Q количество реализованного товара , R(Q) функция дохода. C(Q) функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организация инфраструктуры и.т.п . Прибыль от реализации произведенного товара задается формулой.П(Q)=R(Q)-C(Q).В микроэкономике известно утверждение : для ,того чтобы прибыль максимальной , необходимо , чтобы доход был максимальным , а издержки минимальными. Доказано , что в этом случае принцип можно записать в виде R'(Q)=C'(Q) . Действительно из необходимого условия экстремума для функции П(Q)=R(Q)-C(Q) следует, что (Q)=0 откуда и получается основной принцип.

Приведем пример. Пусть R(Q)=100Q-Q²,C(Q)=Q³-37Q²+169Q+400

Тогда прибыль определяется формулойП(Q)=- Q³+36Q²-69Q-400

Производная прибыли равна: Q)=-3Q²+72Q-69. Получаем уравнение

-3Q²+72Q-69=0 или Q²-24Q+23=0 . Решая это уравнение , получаем

Q=23 иQ=1. Исследуя на экстремум по одному из его достаточных условий, получаем: что . Таким образом, чтобы прибыль был максимальным нужно производить 23 единицы продукта.

Литература:

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов – М. Высшая школа, 2001.- 345с.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов – М: Высшая школа, 1998.- 380с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч.1,Ч.2.:Учебн. пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.- 280с.