Задачи на переливания

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 23» г. Димитровграда» Ульяновской области

Внеурочное занятие

Задачи на переливание

Разработчик: учитель математики

высшей категории Авакян Л.Р

Димитровград

2019

Задачи на переливание

Цель: создание условий для развития познавательной творческой активности учащихся средней школы.

Задачи:

• создать условия для исследовательской деятельности учащихся, которые выведут учащихся на различные способы решения задач на переливание.

• отработать различные способы решения задач на переливание.

• закрепить практические навыки решения логических задач посредством самостоятельного решения задач на переливание

• создать условия, способствующие развитию памяти, внимания, логического мышления, любознательности и творческих способностей учащихся: смекалки; компьютерного экспериментирования и моделирования и любознательности.

• научить правильно рассуждать, уметь давать ответы на поставленные вопросы;

• продолжать формирование действий самооценки;

• продолжать работу над формированием учебного сотрудничества в классе (групповые формы взаимодействия детей)

• способствовать воспитанию аккуратности, терпению;

• способствовать культурному и интеллектуальному развитию учеников;

• воспитать интерес к предмету через нетрадиционную форму проведения занятия.

Методы: репродуктивный, проблемный, практический, частично-поисковый, исследовательский, метод творческих заданий.

Формы организации деятельности учащихся:

• общегрупповая (коллективная) работа;

• работа в парах;

Используемое оборудование и оснащение

• мультимедийный проектор

• раздаточный материал.

Предмет математики настолько серьёзен,  что нельзя упускать случая,  сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль

Задачи на переливание, как вид нестандартных задач.

«Интерес есть там, - утверждает В.А.Сухомлинский, где есть вдохновение, рождающееся от успеха». Как же добиться такого успеха? Как вызвать интерес детей к учебе, исподволь заставить ребенка мыслить, рассуждать, доказывать, соглашаться, уметь отстаивать свою точку зрения, иначе говоря, воспитывать личность? Как научить всех и сильных, и слабых?

Достичь этого можно путём включения задач, связанных с понятиями, которые выходят за рамки программного материала. Такие задачи, яркие, занимательные, с необычной формулировкой, требующие неожиданного решения часто называют нестандартными. При решении нестандартных задач применяются логические таблицы, графы, чертежи и т.д.
Один из видов нестандартных задач – задачи на переливание. Это старинные задачи, возникшие много веков назад,но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях для 5–6-х классов. Однако данный вид логических задач целесообразно рассматривать и с учащимися среднего звена (7-8 классы).

 Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний.

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

• знаем, что сосуд пуст,

• знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

• в задаче известно сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

• в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

• в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом

Чаще всего используется словесный способ решения (т.е. описание последовательности действий) и способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний.

- Добрый день, ребята. Сегодня я приглашаю вас на необычное занятие – литературное, на котором мы с Вами познакомимся со сказкой «По щучьему велению на новый лад». Итак, сказка начинается

- Жил – был Емеля. Ничего он никогда не делал, лежал на печи, мух считал. Но вот однажды его заставили идти воду набирать. Увидел Емеля щуку в проруби и схватил ее. Заговорила человечьим голосом щука:

-Емеля, Емеля, отпусти меня! А я выполню любое твое желание! Скажи - чего ты сейчас хочешь?

- Хочу, чтобы ведра сами пошли домой и вода бы не расплескалась!

Задумалась щука – уж больно не хотелось ей просто так желания бездельника выполнять. И говорит:

- Запомни мои слова: когда что-то тебе захочется – сначала надо самому потрудится. Реши-ка мне две задачи. Вот они:

1. Вот тебе два ведра. В одном 3 литра, а в другом - 5 литров. Набери-ка мне из реки 7 литров воды?

2. Вот 3 ведра: 6-литровый, 4-литровый и 3-литровый. Наберешь 1 литр - исполню твое желание.

Стало трудно Емеле - не решал он еще таких задач. Но все-таки решил. А вот как – узнаем далее на занятии.

Общегрупповая (коллективная) работа:

- Но для начала, давайте попробуем определить, как же мы будем называть такие задачи? Вы уже знакомы с логическими задачами на переправы, разъезды. Как Вы думаете, как мы назовем задачи такого типа? (Ответы учащихся, учителю необходимо вывести учащихся на ответ «переливание»)

- Что представляют собой такие задачи, как вы думаете? (Ответы учащихся, учитель создает ситуацию самостоятельного вывода понятия самими учащимися: Задачи на переливание представляют собой такие задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости).

Беседа.

- Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней:

«В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача:

Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

Одной из самых известных задач подобного рода является задача Симеона Дени Пуассона (1981 – 1840), знаменитого французского математика и физика. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, и определил выбор своей будущей профессии – математик.

Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

1. «Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

2. «Переливашка» - задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую;

Индивидуальная работа учащихся

- Вернемся к нашей сказке, вспомним какие две задачи задала щука Емеле-бездельнику? В карточках для работы заполните пустые места – предложенные щукой задачи отнесите к какому-либо типу (работа учащихся по карточкам – Приложение 1).

- Простейший способ решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такое решение не совсем удачно, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

- Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании определённой последовательности действий.

В задачах на переливание разрешены следующие операции:

• заполнение жидкостью одного сосуда до краев;

• переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

• разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;

• разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;

• разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

I. начать переливания с большего сосуда;

II. начать переливания с меньшего сосуда.

Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

- При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм

Алгоритм I.

1. Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.

2. Перелить из большей емкости в меньшую емкость.

3. Вылить жидкость из меньшей емкости.

4. Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

- При решении задач второго типа («Переливашка») можно использовать следующий алгоритм. Запишите этот алгоритм в карточку для индивидуальной работы (Приложение 1).

Алгоритм II.

1. Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.

2. Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.

3. Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.

4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.

5. Если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

III. Способы решения задач на переливание.

Парная самостоятельная работа учащихся.

- Далее ребята, нам предстоит выяснить сколько и какие способы решения задачи на переливание существуют? Ваша задача – необходимо определиться с типом задачи, который Вас более всего заинтересовал, – «Водолей» или «Переливашка», самостоятельно разобраться с каждым из рассмотренных способов решения данной задачи, и объяснить предложенные способы своему однокласснику, с которым Вы работаете в паре.

Примечание: Для учащихся, которые быстро справились с заданием, дается еще одна задача – более сложного уровня.

Разомнём пальчики и поясницу и сделаем гимнастику для глаз (учащиеся повторяют упражнения). (Приложение 1 - презентация «Физкульминутка»)

Решаем задачи на переливание.

1. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

Рассуждения:
1) Наполняем 5-литровый сосуд.
2) Отливаем 3л в трёхлитровый сосуд. В 5-литровом сосуде осталось 2л.
3) Выливаем из трёхлитрового сосуда воду в раковину.
4) Из 5-литрового сосуда переливаем 2 л в трёхлитровый.
5) Наполняем 5-литровый сосуд водой.
6) Дополняем трёхлитровый сосуд 1л из 5-литрового. В 5-литровом
остается 4л. Задача решена.

1. Мачеха дала Золушке задание вскипятить 8 литров воды и дала ей ведра вместимостью 10л и 3л. Помогите Золушке справиться с заданием.

Рассуждения:
1) Наполняем 3-литровое ведро.
2) Переливаем воду в 10-литровое ведро.
3) Опять наполняем 3-литровое ведро.
4) Переливаем воду в 10-литровое ведро, в нем стало 6 л.
5) Наполняем 3-литровое ведро.
6) Переливаем воду в 10-литровое ведро, в нем стало 9 л.
7) Наполняем 3-литровое ведро.
8) Отливаем 1л в 10-литровое ведро, в нем 10л, в 3-литровом 2л.
9) Выливаем содержимое 10-литрового ведра.
10) Переливаем 2л из 3-литрового в 10-литровое ведро.
11) Наполняем 3-литровое ведро.
12) Переливаем содержимое 3-литрового ведра в 10-литровое. В нем стало
5л.
13) Наполняем 3-литровое ведро.
14) Переливаем содержимое 3-литрового ведра в 10-литровое. В нем стало 8л. Задача решена.

Рефлексия (блиц-опрос):

- Что нового вы узнали сегодня на занятии?

- Какая из задач вам запомнилась больше всего?

- Научились ли вы решать задачи на переливание самостоятельно?

- Как вы считаете, можете вы уже решать задачи на переливание

- Наше занятие подошло к концу. Решил Емеля задачи, которые задала ему щука. Ну, а ей пришлось Емелино желание исполнить – пошли ведра домой сами. Тут и сказке КОНЕЦ, а тот, кто понял решение задач – МОЛОДЕЦ!

Задачи на переливание

1. Коля пришёл на реку с 7-литровым ведром. Как ему налить 5л воды, имея пустую 3-литровую банку. (воду можно сливать обратно в реку)

Рассуждения:
1) Наполняем 3-литровую банку.
2) Переливаем в ведро.
3) Наполняем 3-литровую банку.
4) Переливаем воду из банки в ведро, в нем стало 6л.
5) Наполняем 3-литровую банку.
6) Дополняем 7-литровое ведро из банки, в банке осталось 2л.
7) Выливаем содержимое ведра в реку.
8) Переливаем 2л из банки в ведро.
9) Наполняем 3-литровую банку.
10) Переливаем воду из банки в ведро, в нем стало 5л. Задача решена.

1. Как, имея два сосуда емкостью 9л и 5л, набрать из водоема ровно 3 литра воды? (воду можно сливать обратно в водоем)

Рассуждения:
1) Наполняем 5-литровый сосуд.
2) Переливаем в 9-литровый.
3) Наполняем 5-литровый сосуд.
4) Дополняем 9-литровый сосуд доверху. В 5-литровом осталось 1л.
5) Выливаем воду обратно в водоем из 9-л сосуда.
6) Переливаем в 9-литровый 1л из 5-литрового.
7) Наполняем 5-литровый сосуд.
8) Переливаем в 9-литровый, в нем стало 6л.
9) Наполняем 5-литровый сосуд.
10) Дополняем 9-литровый сосуд доверху. В 5-литровом осталось 2л.
11) Выливаем воду обратно в водоем из 9-л сосуда.
12) Переливаем в 9-литровый 2л из 5-литрового.
13) Наполняем 5-литровый сосуд.
14) Переливаем в 9-литровый, в нем стало 7л.
15) Наполняем 5-литровый сосуд.
16) Доливаем 9-литровый сосуд доверху, в 5-литровом осталось 3л.
Задача решена.

5. Имеются два сосуда. Емкость одного из них 9л, а другого 4л. Как с
помощью этих сосудов набрать из бака 6 литров некоторой жидкости?
(Жидкость можно сливать обратно в бак).

Рассуждения:
1) Наполняем 4-литровый сосуд.
2) Переливаем в 9-литровый.
3) Наполняем 4-литровый сосуд.
4) Переливаем в 9-литровый, в нем стало 8л.
5) Наполняем 4-литровый сосуд.
6) Дополняем 9-литровый сосуд доверху, в 4-литровом осталось 3л.
7) Из 9-литрового сосуда жидкость сливаем обратно в бак.
8) Из 4-литрового сосуда переливаем жидкость в 9-литровый.
9) Наполняем 4-литровый сосуд.
10) Переливаем в 9-литровый, в нем стало 7л.
11) Наполняем 4-литровый сосуд.
12) Дополняем 9-литровый сосуд доверху, в 4-литровом осталось 2л.
13) Из 9-литрового сосуда жидкость сливаем обратно в бак.
14) Переливаем в 9-литровый 2л из 4-литрового.
15) Наполняем 4-литровый сосуд.
16) Переливаем в 9-литровый сосуд, в нем стало 6л. Задача решена.

1. Как разделить поровну между двумя семьями 12 л хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: восьмилитровым и трехлитровым?
   
   

Рассуждения:
1) Переливаем из 12-литрового сосуда квас в 8-литровый.
2) Переливаем из 8-литрового сосуда квас в 3-литровый, в 8-литровом
осталось 5л.
3) Из 12-литрового сосуда дополняем 8-литровый доверху. В 12-литровом
осталось 1л.
4) Из 8-литрового сосуда переливаем в 12-литровый, в нем стало 9л.
5) Из 3-литрового переливаем в 8-литровый 3л.
6) Переливаем в 3-литровый сосуд из 12 литрового, в нем осталось 6л.
7) Из 3-литрового переливаем в 8-литровый сосуд, в нем стало 6л.
Задача решена.

7. Имеются 7-литровая банка сока и две пустые ёмкостью 3л и 4л. Как налить в 3-литровую банку 2л сока?

Рассуждения:
1) Из 7-литровой банки отлить сок в 3-литровую. В 7-литровой останется 4л

2) Из 3-литровой перелить сок в 4-литровую банку.
3) Из 7-литровой банки отлить сок в 3-литровую. В 7-литровой останется
1л.
4) Дополнить соком 4-литровую банку из 3-литровой. В 3-литровой
останется 2л. Задача решена.

8. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет банку краски 12л и хочет отлить половину, но у него нет сосуда вместимостью 6л. У него два сосуда емкостью 8л и 5л. Как в 8-литровый сосуд отлить 6л краски?

Рассуждения:
1) Из 12-литровой банки отлить краску в 8-литровую. В 12-литровой
останется 4л.
2) Из 8-литровой банки отлить в 5-литровую. В 8-литровой останется
3л.
3) Перелить краску из 5-литровой в 12-литровую. В ней стало 9л.
4) Из 8-литровой перелить в 5-литровую.
5) Перелить из 12-литровой банки краску в 8-литровую. В 12-литровой
останется 1л.
6) Дополнить доверху 5-литровую банку из 8-литровой. В 8-литровой
останется 6л.
7) Из 5-литровой банки перелить краску в 12-литровую. В ней стало 6л.
Задача решена.

9. Бидон, емкость которого 10 литров, наполнен соком. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить сок в два сосуда по 5 литров каждый?

Рассуждения:
1) Отлить из 10-литрового бидона сок в 2-литровый.

В нем останется 8л.
2) Из10-литрового бидона отлить в 7-литровый.

В 10-литровом останется 1л.
3) Перелить из 2-литрового сосуда сок в 10-литровый. В нем стало 3л.
4) Отлить из 7-литрового в 2-литровый сосуд.

В 7-литровом останется 5л.
5) Из 2-литрового перелить в 10-литровый и в нем станет 5л.
Задача решена.

10. Кот Матроскин надоил 10-литровое ведро молока. Для почтальона
Печкина нужно отлить 5л молока в 7-литровое ведро, используя при этом
3-литровый бидончик.

Рассуждения:
1) Отлить из 10-литрового ведра в 7-литровое.

В 10-литровом останется 3л
2) Отлить из 7-литрового в 3-литровое ведро.

В 7-литровом останется 4л.
3) Из 3-литрового перелить в 6-литровое ведро. В нем стало 6л молока.
4) Отлить из 7-литрового в 3-литровое ведро.

В 7-литровом останется 1л.
5) Из 3-литрового перелить в 10-литровое ведро.

В нем стало 9л молока.
6) Перелить 1л молока из 7-литрового ведра в 3-литровое.
7) Перелить из 9-литрового ведра в 7-литровое.

В 9-литровом останется 2л
8) Долить из 7-литрового ведра молоко в 3-литровое.

В 7-литровом ведре осталось 5л. Задача решена.

Использованная литература:

1.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников: Книга для учителя. -М:Просвещение,1988.

2.Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. -М:Просвещение,1996

3.Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин, Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988

4.Я.И.Перельман Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959

5.В.Н.Русанов Математические олимпиады младших школьников М., Просвещение, 1990

6.Е.П.Коляда Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся Информатика и образование. 1996. N1.

7.И.Ф.Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991