Задачи на построение сечений

Задачи на построение сечений

Подготовила

учитель математики

МБОУ Любовшанская СОШ

Бычкова Светлана Петровна

Проверка домашнего задания

-С какими двумя многогранниками мы познакомились на прошлых уроках?

-Что такое тетраэдр?

(Второе название тетраэдра- треугольная пирамида).

- Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?

-Что такое параллелепипед?

-Сформулируйте свойства параллелепипеда.

Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Задача из материалов ЕГЭ :

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD с вершиной М стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 5. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку А и середину ребра МС.

Тема урока:

Задачи на построение сечений

Цели урока

-Давайте сформулируем цели нашего урока.

Секущая плоскость

1.Секущая плоскость тетраэдра(параллепипеда)-это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллепипеда).

Сечение

Секущая плоскость

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда) .

• -Могут ли секущая плоскость и плоскость грани многогранника быть параллельными друг другу?
• -Значит, нам нужно повторить свойства параллельных плоскостей , признак параллельности двух плоскостей?
• Признак параллельности прямой и плоскости?

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники .

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники , четырехугольники , пятиугольники и шестиугольники .

При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

К

В 1

C 1

F

А 1

D 1

E

N

В

С

А

М

D

Для построения сечения достаточно:

1)построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда);

2) провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Задача 1.

На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

D

P

N

С

В

М

А

D

P

N

С

В

Е

Q

М

А

D

P

N

С

Q

В

Е'

М

А

Задача 2.

Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра DАВС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

D

R

Q

С

M

Р

В

А

Задача 3.

На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

C 1

В 1

С

В

А 1

D 1

А

С

В

D

А

Задача 3.

На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

В

С

А

D

Е

Задача 3.

На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

С

В

А

D

Е

F

М

Задача №72(а) . Изобразите тетраэдр DАВС и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости грани АВС, если: а) точка М является серединой ребра АD.

D

M

B

A

C

Задача №84. Изобразите параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В 1 , D 1 и середину ребра СD. Докажите, что построенное сечение- трапеция.

Построение:

В 1

C 1

1. В 1 D 1

2. МN ll В 1 D 1

3. D 1 М

А 1

4. В 1 N

D 1

МN В 1 D 1 -искомое сечение

Решение.

Соединим точки В 1 и D 1 . Отметим точку М – середину DC. Проведём MN // В 1 D 1 . Соединим точки M и D 1 , N и В 1 . Получили сечение МNВ 1 D 1 . Данный четырехугольник является трапецией потому, что

MN // В 1 D 1 .

N

С

В

М

А

D

Самостоятельная работа

• Задача 1
• Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью,
• проходящей через вершины А и В и точку Е,
• лежащую на ребре DC.
•  
• Задача 2
• Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью,
• проходящей через вершину А, точку Е, лежащую
• на ребре DC и точку F, лежащую на грани ABD.
•  
•    Задача3
• Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
• плоскостью, проходящей через вершины В, В 1 и D 1 .

- Достигли ли мы поставленных целей урока?

Что такое секущая плоскость?

Что такое сечение многогранника?

Что значит построить сечение многогранника плоскостью?

Что получается при пересечении тетраэдра плоскостью сечения?

Какие многоугольники можно получить в сечении параллелепипеда плоскостью?

Домашнее задание

• П.14, подготовить презентацию на вопрос 15 учебника с.32;
• № 72(б), №79(а);
• № 106-индивидуально.