Задачи на применение площадей многоугольников

Типовые Задачи на применение формул площадей

Подготовила: Уварова А.,

ученица 8 класса

1) ABCD – квадрат, АВ = 5см, АК= √41 см. Найти площадь АВСК .

• Дано:

ABCD – квадрат, АВ = 5см,

АК= √41 см.

Найти: S ABCК - ?

Решение:

• ∆ ADK – прямоугольный, ∠ D=90 о .

По теореме Пифагора KD 2 =AK 2 -AD 2 ,

S ADK =1/2AD ﹒ KD, S ADK =10 см 2

S ABCD =AB 2 , S ABCD =25см 2 .

S ABCК =S ABCD -S ADK , S ABCК =25-10=15 см 2

Ответ: S ABCК =15 см 2

KD=4 см.

D

2) АВСD – параллелограмм. Точка Е симметрична точке А относительно точки В. Докажите, что S ABCD = S ADЕ.

Дано:

АВСD – парал-м

АВ=ВЕ

Докажите: S ABCD = S ADЕ.

Доказательство:

1) ∆ BEF =∆ CDF по стороне и

двум прилежащим к ней углам

(AB=CD=BE, ∠ EBF= ∠ DCF,

∠ BEF = ∠ CDF накрест лежащие углы при АВǁDС и

секущих ВС и DЕ соответственно),

поэтому S ВЕF = S CDF.

2) S ABCD = S ABFD + S CDF ,

S ADЕ = S ABFD + S BEF , значит,

S ABCD = S ADЕ.

Чтд.

E

В F С

А D

3) Найти углы параллелограмма, если площадь равна 20 кв. см, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из его сторон на отрезки 2 см и 8 см , считая от вершины острого угла.

В С

А D

H

Дано: ABCD - парал-м

S ABCD = 20 см 2

AH=2см, HD=8см

Найти углы парал-ма

Решение:

AH=2см, HD=8см, отсюда, AD=10 см

S ABCD = 20 см 2 , S ABCD =BH*AD.

Значит, BH= S/AD, BH=2 см.

∆ АBH – прямоугольный,

равнобедренный, BH=AH=2см,

Тогда ̷ BAH = ∠ ABH=45 0 ∠ BAH = ∠ BCD=45 0 ,

∠ ABC = ∠ CDA=135 0 .

Ответ: 45 0 , 135 0 , 45 0 , 135 0 .

4) ABCD – квадрат, МРКТ – квадрат, ВО=РО=DР, АВ=МР=3см, ВР:PD=2:1. Найти площадь фигуры.

Дано:

ABCD – квадрат,

МРКТ – квадрат

ВО=РО=DР, АВ=МР=3см,

ВР:PD=2:1

Найти S ABCQKTMR -?

Решение:

По т. Пифагора BD=3√2 см, значит,

BP=2√2 см, а PD=√2 см.

Т.к. ABCD=MPKT ( АВ=МР), то

S ABCD = S MPKT =9см 2 , а S RPQD =1см 2 .

Отсюда, площадь всей фигуры

состоит из площади квадрата

ABCD и площади фигуры MRDQKT.

S=9+(9-1)=17 (см 2 ).

Ответ: 17 см 2 .

Q

R D

5) В треугольнике ABC биссектриса AD равна 7 см, AB=6см, АС=8см. Найдите S ABD : S ACD .

B

Дано:

ABC-треуг-к

D

AD- бис-са, AD=7см,

AB=6см, АС=8см

Найдите S ABD : S ACD

A C

Решение:

По теореме об отношении

площадей двух треугольников,

имеющих равные углы имеем:

S ABD : S ACD = AD ﹒ AC ,

S ABD : S ACD = 56 =

Ответ: S ABD : S ACD =3:4

АВ ∙ АD

3

42

4

7) В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AB, один из углов параллелограмма равен 120 0 , AD=12 см, O – точка пересечения диагоналей. Найдите диагонали параллелограмма и площадь треугольника CDO.

Дано:

ABCD-парал-м,

B C

BD ⊥ АВ, ∠ АВС=120 0

O

AD=12 см, AC ∩ BD=О,

Найти: AC, BD, S CDO -?

Решение:

Так как по условию задачи угол ABC

D

A

равен 120 0 , то угол BAD=60 0 .

∆ ABD - прямоугольный, уголABD=90 0 , тогда

∠ ADB=30 0 , отсюда AB=½AD=6см.

По т. Пифагора ВD=6√3см, ВО=½ВD=3√3см.

Из ∆ABО: по т. Пифагора АО=3√7см, тогда АС=6√7см

(диагонали параллелограмма).

S CDO = S ABO , т.к. треугольники равны. S ABO =½ВО∙АВ,

S CDO = S ABO = ½ ∙ 3√3 ∙6=9√3см 2 .

Ответ: ВD=6√3см, АС=6√7см , S CDO =9√3см 2 .

O

8) Задача Л.Н.Толстого « Много ли человеку земли надо?»

Крестьянин Пахом мечтал о собственной земле и собрав, наконец,

желанную сумму, предстал перед старшиной.

« Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 рублей, Но

если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел,

пропали твои деньги»-сказал старшина.

Выбежал утром Пахом, прибежал вечером на место и упал без чувств,

обежав четырехугольник, периметр которого 40 км.

• Сколько же земли купил себе Пахом?
• Наибольшую ли площадь при данном Периметре получил Пахом?

Решение: