Задачи на сложные проценты

1. Задача на вкладывание денег в банк

Допустим, семья собирается покупать квартиру за 2 млн рублей. При этом доход этой семьи составляет 60 тыс. рублей в месяц. Годовой доход 720 тыс. рублей плюс ещё отпускные. Эта семья подсчитала все свои потребности за год и решила ежегодно отложить 300тыс. рублей на покупку квартиры, значит надо откладывать 300 тыс рублей в течение 7 лет. ( 2000000 : 300000 = 6,666.. т.е. 7 лет)

Однако вместо того, чтобы откладывать деньги дома, решили вкладывать под 15% годовых в банк. Через сколько лет семья купит квартиру?

Вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на счетах ежегодно будет увеличиваться в к = 1,15 раза, где к= 1+

Посчитаем, сколько денег будет на счетах после каждого года:

В первый год, когда только начнут откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года отложится 300 тыс рублей

В конце второго года на те 300 тыс рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года надо доложить еще 300 тыс рублей. Разумеется, на эти 300 тыс еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти 300 тыс только появились на счету: 300тыс⋅1,15+300тыс

В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15 и еще отложены 300 тыс рублей:

(300 тыс⋅1,15+300 тыс)1,15+300 тыс

Четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще 300тыс. : ((300тыс.⋅1,15+300тыс)⋅1,15+300тыс)1,15+300тыс

Пятый год: (((300тыс.⋅1,15+300тыс)⋅1,15+300тыс)1,15+300тыс)1,15

А теперь раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу пятого года откладывания денег:

(((300тыс⋅1,15+300тыс)⋅1,15+300тыс)1,15+300тыс)1,15 + 300тыс=((300тыс⋅1,152+300тыс⋅1,15+300тыс)1,15+300тыс)1,15 +300тыс=(300тыс⋅1,153+300тыс⋅1,152+300тыс⋅1,15+300тыс)1,15 +300тыс=300тыс⋅1,154+300тыс⋅1,153+300тыс⋅+300тыс1,15 +300тыс =300тыс(1,154+1,153++1,15 +1)=300тыс(1+1,15+1,152+1,153+)

Как видим, в скобках у нас стоит геометрическая прогрессия, т. е. сумма элементов геометрической прогрессии.

Вспомним, что если геометрическая прогрессия задана элементом b1, а также знаменателем q, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

, где =1, q=1,15

Теперь мы можем посчитать сумму:

= 6,73

За пять лет сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза.

К концу пятого года семья получит на счету следующую сумму:

6,7⋅300000=2010000 рублей и купит квартиру. Причём квартиру семья вложит

1 500000 рублей, остальную сумму вкладывает банк и на счету останется 10000рублей.

В итоге мы получили выражение: 300тыс(1+1,15+1,152+1,153+)

Отсюда получается формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк:

вклад= платёж , где %= 1+, n - срок

1. Задача на выплаты кредита

Эта же семья берёт в кредит 2 млн рублей на покупку квартиры под 15% годовых на 5 лет. Во сколько денег обойдётся покупка квартиры на самом деле?

. Пусть согласно договору должна платить x рублей в месяц. В самом начале долг 2 млн рублей.

Затем спустя один год на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

к= 1+

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. К концу первого года на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,15 раза. Сразу после этого этой семье будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. x рублей :

2m⋅1,15−х

Далее к концу второго года уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:

(2m⋅1,15−х)⋅1,15−x

Затем к концу третьего года сумма его задолженности еще раз увеличивается на 15%:

((2m⋅1,15−х)⋅1,15−х)1,15−х

Четвёртый год: ( ((2m⋅1,15−х)⋅1,15−х)1,15−х)1,15 – х

Пятый год: ((((2m⋅1,15−х)⋅1,15−х)1,15−х)1,15 – х)1,15 - х

И по условию за 5 лет семья полностью расплатится, т. е. после внесения последнего пятого платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

((((2m⋅1,15−х)⋅1,15−х)1,15−х)1,15 – х)1,15 – х=0. Раскрываем скобки и в результате получим: 2млн⋅ - 1,154х-1,153х - х - 1,15х –х = 0,

2млн⋅ = 1,154х+1,153х + х + 1,15х +х ,

2млн⋅ = (1,154+1,153 + + 1,15 +1) х,

сумма 5-ти элементов геометрической прогрессии

, где =1, q=1,15

Х= 597325, 4 руб – ежегодный платёж. Квартира обойдётся этой семье за: 597325,4 *5= 2 986 627 рублей.

Если внимательно посмотреть на последнее равенство, тогда можно получить

формулу: кредит * = платёж , где %= 1+, n – срок кредита

Знать эти две формулы, связывающие кредиты, платежи, проценты и сроки необходимо. С помощью этих формул решаются экономические задачи из ЕГЭ по математике. А в жизни, если у тебя есть возможность, лучше свои деньги вкладывать в банк или в реально действующий бизнес под хорошие проценты. Брать кредит нужно очень осторожно, учитывая все последствия и свои возможности.