Задачи площадь параллелограмма, ромба, треугольника

Площадь параллелограмма, ромба, треугольника

Повторим

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

S пар = ah , где а – основание, h – высота проведенная к этому основанию

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

S тр = ah a , где а – основание, h – высота проведенная к этому основанию

Следствие: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S тр = ab , где a и b – катеты

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

S тр = d 1 d 2 , где d 1 и d 2 – диагонали ромба

Ключевые задачи

• Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 10 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне параллелограмма.

Дано: АВСD – параллелограмм

АD = а = 12 см

CD = b = 8 см

h а = 10 см

Найти: - ?

Решение:

S пар = ah а и S пар = bh b

ah а = bh b

! Стороны параллелограмма обратно пропорциональны его высотам

2. Площадь параллелограмма ABCD равна 24 см 2 , BC = 6 см, ∠ACB=30 0 . Найдите длину диагонали АС.

Дано: ABCD – параллелограмм

S = 24 см 2

BC = 6 см

∠ ACB=30 0

Найти: АС - ?

Решение: 1) Опустим из вершины С высоту на продолжение стороны AD

2) S ABCD = AD · CH – найдем высоту параллелограмма

AD = BC = 6 см (по свойству параллелограмма – противоположные стороны попарно равны)

24 = 6 · CH

3) Рассмотрим прямоугольный Δ ACH.

∠ СAH = ∠ACB = 30 0 (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей АС)

В прямоугольном Δ катет лежащий против угла в 30 0

равен половине гипотенузы

АС =

3. Высоты параллелограмма равны 4 см и 5 см, угол между ними 30 0 . Найдите площадь параллелограмма.

Дано: ABCD – параллелограмм

ВН = 4 см

ВК = 5 см

∠ НВК=30 0

Найти: S ABCD - ?

Решение:

! Свойство: Угол между высотами, проведёнными из вершины тупого угла,

равен острому углу параллелограмма .

∠ НВК = ∠А = ∠С ⇒ ∠А = ∠С = 30 0

Рассмотрим ΔВСК – прямоугольный

ВС = 2ВК (из свойства катета, лежащего против угла в 30 0 )

BC = AD (по свойству параллелограмма – противоположные стороны попарно равны)

S ABCD = АD · BH

4. Доказать, что три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольника.

Дано:

АВС – треугольник

АР, BN, СК – медианы ΔАВС

Доказать:

S NMC = S MPC = S BMP = S KMB = S AMK

Доказательство:

1) Обозначим за S – площадь ΔАВС

2) по св-ву медианы Медиана разбивает треугольник на два равновеликих  (по площади) треугольника ⇒ S ABN = S и S NBC = S

3) по св-ву медианы Все три медианы пересекаются в одной точке  и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

BM : MN = 2 : 1

4) ΔABM и ΔAMN имеют общую высоту, опущенную из вершины А ⇒

S AMN = S ABN = · S = S

Аналогично

S NMC = S MPC = S BMP = S KMB = S AMK = S

5. Найдите высоту h c прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c.

Дано: прямоугольный треугольник

а и b - катеты

с – гипотенуза

h с – высота

Найти: h с – ?

Решение:

S = ch с и S = ab

ch с = ab

h с = - формула высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

6.

Дано: АМ : МС = 3 : 1

ВК = КМ

S АВС = 32 см 2

Найдите: S АКМ - ?

Решение:

ΔАВМ и ΔАВС имеют общую высоту, опущенную из вершины В

⇒ S АВМ = S АВС

ВК = КМ (по условию) ⇒ АК – медиана ΔАВМ

S АКМ = S АВМ = · · S АВС

S АКМ = · · 32 = 12 см 2

№ 1

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.

№ 2

Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до нее равно 1. Найдите площадь ромба.

№ 3

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

№ 4

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Решите задачи: