Задачи по теории вероятности

Теория вероятностей

Справочный материал

Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

Два события называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого события

называется противоположным событию А , если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

А

Вероятностью события А называется

Р(А)=

Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

Вероятности противоположных событий:

(объединение «или» ) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В

(пересечение «и» ) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух

несовместных событий А и В:

Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий А и В:

Условная вероятность В при условии, что А наступило

Вероятность наступления двух зависимых

событий:

Вероятность наступления двух независимых событий:

Теорема Бернулли . Вероятность (k) наступления ровно k «успехов» в n-независимых повторениях одного и того же испытания с двумя исходами «успех» и «неудача» вычисляется по формуле: где

(k) =

р – вероятность успеха, q=1 – p вероятность неудачи в одном испытании

Если число подбрасываний монеты равно n, то число различных вариантов выпадений «орла» или «решки» равно

Если число бросания кубика равно n, то количество равновозможных исходов равно

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Ответ: 0,3

Реши самостоятельно!

Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек.

Алексей

Иван

Татьяна

Ольга

Ответ: 0,5

Задача. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение:

N= 1000

A= {аккумулятор исправен}

N(A)= 1000 – 6 = 994

Ответ: 0,994

Задача 9. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе.

Решение:

Множество элементарных событий: N=16

A={команда России во второй группе}

С номером «2» четыре карточки: N(A)=4

Ответ: 0,25

Задача. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.

Решение:

A={ручка пишет хорошо}

Противоположное событие:

Ответ: 0,9

Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4 .

Решение:

Всего граней:

Элементарные события:

N=6

1, 2, 3, 4, 5, 6

N(A)=2

Ответ:1/3

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее чем 4.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ответ: 0,5

Задача 4. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Решение:

Множество элементарных исходов:

N=36

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

A= {сумма равна 8}

N(А)=5

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Ответ:5/36

Реши самостоятельно!

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков.

Числа на выпавших сторонах

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

Ответ: 1/6

Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение:

Возможные исходы события:

1 бросок

2 бросок

N=4

О

О

Р

О

N(A)=2

орел - О

решка - Р

4 исхода

О

Р

Р

Р

Ответ:0,5

Реши самостоятельно!

Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ.

1

О

2

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,25

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Пусть выпадение решки означает выигрыш жребия командой «Физик». Возможны 8 исходов:

РРР, РРО , РОР , РОО, ОРР , ОРО, ООР, ООО

Ответ: 0,375

Реши самостоятельно!

Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы?

1

2

О

О

О

3

О

О

О

Р

Р

О

Р

О

Р

Р

О

Р

О

Р

О

Р

Р

Р

Р

О

Р

Ответ: 0,5

Задача. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2 . Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем .

Решение:

А={вопрос на тему «Вписанная окружность»}

B={вопрос на тему «Параллелограмм»}

События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно

С={вопрос по одной из этих тем}

Р(С)=Р(А) + Р(В)

Р(С)=0,2 + 0,15=0,35

Ответ: 0,35

Задача 12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

А={кофе закончится в первом автомате}

B={кофе закончится во втором автомате}

Р(А)=Р(В)=0,3

По формуле сложения вероятностей:

Ответ: 0,52

Задача 13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Вероятность попадания = 0,8

Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2

А={ попал, попал, попал , промахнулся, промахнулся }

По формуле умножения вероятностей

Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2

Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02

Ответ: 0,02

Р= 0,5· 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,0625

Задача 14 . В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Р(АUВ)= 0,05 + 0,05 – 0,05· 0,05 = 0,9975

Ответ: 0,9975