Задачи раздела "Математическая логика"

1. Выделите среди следующих записей высказывания и определите, истинны они или ложны:

   1. Луна – спутник Марса;

   2. Принеси мне, пожалуйста, книгу;

   3. Все учащиеся любят математику;

   4. 2 – 1000;

   5. x² – 2x + 6 = 0;

   6. Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки этой плоскости имеет заданную величину;

   7. Число 3 является корнем уравнения x² – 5x + 6 = 0;

   8. Любое простое число р не имеет делителей, отличных от себя и 1;

   9. (4 + )(4 – ) = 3²;

   10. x² – 8x + 15 = 0;

   11. x² + у² 0;

   12. Некоторые люди имеют голубые глаза.

2. Установите, какие из следующих предложений являются истинными, а какие – ложными высказываниями:

   1. число –2 меньше 0;

   2. частное от деления 7 на 5 равно 0;

   3. (13 – 2;

   4. все треугольники равнобедренные;

   5. число 15135 делится нацело на 3;

   6. сумма чисел 5 и х равна 10;

   7. существует такое число х, что 2х + 5= 15.

3. Даны высказывания:

А: «Земля вращается вокруг Солнца»;

В: «Земля имеет форму шара».

Образуйте из данных высказываний сложные и подчеркните слова, при помощи которых они образованы.

1. Среди приведенных ниже высказываний укажите сложные, выделите в них простые, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв каждое сложное высказывание:

   1. «На уроке математике учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу»;

   2. «Мы пойдем кататься на коньках или лыжах»;

   3. «Если в данном четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четырехугольник – ромб»;

   4. «Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3»;

   5. « –17 0».

2. Определите, какое из приведенных ниже высказываний является отрицанием высказывания «Сегодня в 12 часов дня я был на катке»:

   1. сегодня я был на катке не в 12 часов дня;

   2. я был на катке в 12 часов дня не сегодня;

   3. сегодня в 12 часов дня я был в кино;

   4. сегодня я был на катке в 3 часа дня;

   5. сегодня в 12 часов дня я не был на катке.

3. Определите, какие из предложений в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие – нет. Объясните почему.

   1. 4 0.

   2. 5 0;

   3. ABC – прямоугольный; ABC – остроугольный.

   4. Натуральное число 6 четно; натуральное число 6 нечетно.

   5. Он мой друг; он друг моего брата.

4. Постройте отрицания приведенных ниже высказываний. Определите значения истинности этих высказываний и их отрицаний.

   1. Число 5 – делитель числа 542;

   2. Автомобиль не имеет права ехать вперед на красный свет;

   3. Существуют параллелограммы с прямыми углами;

   4. Уравнение 2x² – 3x + 1 = 0 имеет целый корень;

   5. Все корни уравнения 2x² – 3x + 1 = 0 – целые;

   6. Все натуральные числа делятся на 2;

   7. Не существует натурального числа, делящегося на 2;

   8. Существует целое число, делящееся на все целые числа.

5. Даны высказывания:

А: «Сегодня понедельник»; В: «Сегодня идет дождь»;

С: «Сегодня сыро»; D: «Я пойду в парк»; Е: «Я пойду в кино».

Запишите при помощи выражений следующие составные высказывания:

1. «Сегодня понедельник и идет дождь»;

2. «Сегодня идет дождь и сыро»;

3. «Сегодня сыро и я пойду в кино»;

4. «Сегодня понедельник и я не пойду в парк»;

5. «Сегодня не идет дождь, и я пойду в парк»;

6. «Сегодня не идет дождь и не сыро»;

7. «Сегодня понедельник и идет дождь и сыро»;

8. «Сегодня не сыро, но я не пойду в парк и не пойду в кино».

1. Даны высказывания: А: «Сегодня ясно»; В: «Сегодня идет снег»;

С: «Я буду читать»; D: «Сегодня воскресенье».

Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим выражениям:

a) AD; б) DB ; в) DA ; г) A; д) A; е) ;

ж) ; з) ; и) ; к) .

1. Составьте таблицы истинности для следующих выражений:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1. Среди следующих сложных высказываний выделите конъюнкции и дизъюнкции и определите, ложны они или истинны:

   1. число 27 кратно 3 и 9;

   2. 17 42 18;

   3. число 2 простое или четное;

   4. Треугольник АВС является остроугольным, прямоугольным или тупоугольным;

   5. 21 21;

   6. 21 18;

   7. 7² = 49 и (–7)² = 49.

2. Даны высказывания: А: «Сегодня понедельник»;

В: «Сегодня вторник»; С: «Сегодня пасмурно»;

D: «Я пойду в театр»; Е: «Я пойду в гости».

Запишите выражения, соответствующие следующим составным высказываниям:

1. «Сегодня понедельник или вторник»;

2. «Я пойду в гости или в театр»;

3. «Сегодня пасмурно и я пойду в гости или в театр»;

4. «Сегодня вторник или понедельник и я не пойду в гости»;

5. «Сегодня пасмурно и сегодня понедельник или вторник».

1. Даны высказывания: А: «Сегодня ясно»;

В: «Сегодня идет дождь»; С: «Сегодня идет снег»;

D: «Я поеду в гости»; Е: «Я буду читать».

Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим выражениям:

а) ; б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м).

1. Даны высказывания: А: «Сегодня воскресенье»;

В: «Сегодня идет снег»; С: «Я буду кататься на коньках»;

D: «Я буду читать».

Запишите следующие высказывания в символьном виде:

1. «Если сегодня воскресенье, то я буду читать»;

2. «Если сегодня идет снег, то я не буду кататься на коньках»;

3. «Если сегодня не воскресенье и не идет снег, то я буду кататься на коньках»;

4. «Если я буду читать или кататься на коньках, то сегодня воскресенье».

1. Даны высказывания:

а) «Если сегодня понедельник, то завтра – вторник»;

б) «Если сегодня понедельник, то завтра – суббота»;

в) «Если сегодня понедельник, то 1 января – Новый год».

Какие из этих импликаций истинны, какие – ложны? Обратите внимание на высказывание б) и исследуйте вопрос о его истинности в зависимости от дня недели, когда это было высказано.

1. Запишите следующие высказывания в символьном виде:

   1. Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива.

   2. Вася ходит в кино только в том случае, когда там показывают комедию.

   3. Для того, чтобы число было нечетным, достаточно, чтобы число было простым.

   4. «Гиганты сегодня выиграют приз, если «Хитрецы» сегодня не выиграют.

1. Дано высказывание А, и оно истинно. Можно ли установить логическое значение высказывания В в следующих случаях?

1) истинно;

2) истинно;

3) ложно;

4) ложно.

1. Даны высказывания:

А: «Четырехугольник ABCD – параллелограмм»;

В: «Диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам».

Сформулируйте следующие высказывания и установите, истинны они или ложны:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з); и) .

1. Определите значения истинности А и В при условии, что высказывание:

   1. «Если 2 – простое число, то А» истинное;

   2. «Если В, то 2 – составное число» ложное;

   3. «Если 2 – простое число, то В» ложное;

   4. «Если А, то 2 – составное число» ложное;

   5. «» истинное;

   6. «» истинное;

   7. «» ложное;

   8. «» ложное.

2. Выясните, в значении каких логических союзов употребляются грамматические союзы в следующих предложениях:

   1. «Хоть редко, да метко»;

   2. «Почтенный старец этот постоянно был сердит или выпивши, или выпивши и сердит вместе» (А. Герцен);

   3. «Храбрец или сидит в седле, иль тихо спит в сырой земле» (Р. Гамзатов);

   4. «Движение яхты возможно лишь тогда, когда дует ветер»;

   5. «Стоило отцу заикнуться о плате, как капитан с яростью принимался сопеть» (Р. Стивенсон);

   6. «Атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов и людей умственного труда».

3. Запишите следующие сложные высказывания в символической форме:

   1. «Фемистокл знал каждого жителя Афин в лицо и по имени»;

   2. «Каждый из нас знает книгу или хотя бы имя Альфреда Брема»;

   3. «Каждый может посмотреть в микроскоп, но не каждый может в него что-то увидеть» (А. Левенгук);

   4. «Неверно, что он готовился к уроку и решит эту задачу»;

   5. «Неверно, что он готовился к уроку, однако он решит эту задачу»;

   6. «Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя»;

   7. «Иль чума меня подцепит, иль мороз окостенит, иль мне в лоб шлагбаум влепит непроворный инвалид» (А.С. Пушкин);

   8. «Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если оно не вынуждено изменить это состояние под влиянием действующих сил».

4. Из простых высказываний: А: «Завтра будет дождь»;

В: «Мы пойдем в театр»; С: «Завтра будет солнечно»;

D: «Завтра занятия начнутся раньше обычного» образованы следующие составные высказывания:

1. «Если завтра будет дождь, то занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в театр»;

2. «Завтра будет солнечно или будет дождь, и занятия начнутся раньше обычного»;

3. «Завтра занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в театр тогда и только тогда, когда не будет дождя и будет солнечно».

1. Составьте истинностные таблицы следующих формул:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) .

1. Являются ли эквивалентными следующие высказывания (попарно):

   1. Каждый студент нашего курса способен или трудолюбив;

Неверно, что каждый студент нашего курса не способен и не трудолюбив.

1. Иван и Марья друг друга не любят;

Неверно, что Иван любит Марью, и Марья любит Ивана.

1. Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой буквы;

Если слово не ставится в начале предложения, то оно не пишется с большой буквы.

1. Число четно тогда и только тогда, когда оно делится на два;

Если число четно, то оно делится на два, а если число нечетно, то оно не делится на два.

1. Докажите теоремы:

1. ; 2) ;

1. ; 4) ;

1. ; 6) ;

1. ; 8) .

1. Упростите выражения:

1. ; 2) ;

1. ; 4) ;

1. ; 6) ;

1. ;

2. .

1. Школьники Алеша, Борис и Вася согласились участвовать в математической олимпиаде при следующих условиях:

1. Если Борис не участвует в олимпиаде, то и Алеша тоже не участвует.

2. Если Борис участвует в олимпиаде, то участвуют и Алеша и Вася.

3. Алеша участвует в олимпиаде в любом случае.

Будет ли при этих условиях участвовать в олимпиаде Вася?

1. Каково наибольшее число утверждений из приводимых ниже, которые одновременно могут быть истинными:

А) Джо ловкач;

Б) Джо не везет;

В) Джо везет, но он не ловкач;

Г) если Джо ловкач, то ему не везет;

Д) Джо является ловкачом тогда и только тогда, когда ему везет;

Е) либо Джо ловкач, либо ему не везет, но не то и другое одновременно.

1. Три ковбоя Билл, Джон и Сэм ходят в салун «У Гарри» вместе. При этом:

А) Если Джон заказывает виски, то и Билл также.

Б) Если Сэм заказывает виски, то Джон также заказывает.

В) Либо Джон, либо Сэм всегда заказывает виски, иногда делают это вместе.

Г) Либо Билл, либо Сэм заказывают виски, но никогда не делают этого в один и тот же день.

Кто пьет виски в салуне «У Гарри»?

1. Проверьте совместность каждого из множеств утверждений:

   1. Либо свидетель не был запуган, либо, если Генри покончил жизнь самоубийством, то записка была найдена. Если свидетель был запуган, то Генри не покончил жизнь самоубийством. Если записка была найдена, то Генри покончил жизнь самоубийством.

   2. Если вечер скучен, то или Алиса начинает плакать, или Анатоль рассказывает смешные истории. Если Сильвестр приходит на вечер, то или вечер скучен, или Алиса начинает плакать. Если Анатоль рассказывает смешные истории, то Алиса не начинает плакать. Сильвестр приходит на вечер тогда и только тогда, когда Анатоль не рассказывает смешные истории. Если Алиса начинает плакать, то Анатоль рассказывает смешные истории.

   3. Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка снижается, то либо падает курс акций, либо налоги не повышаются. Курс акций понижается тогда и только тогда, когда растет курс ценных бумаг и налоги растут. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не понижается, либо курс ценных бумаг не растет. Либо повышаются налоги, либо курс акций понижается и снижается процентная ставка.

1. Найдите область истинности предиката «Число х четно», заданного на множестве М = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

2. Даны предикаты А(х): «9х² – 4 = 0» и В(х): «3х – 2 R; б) ; в) N.

3. Найдите области истинности следующих предикатов:

1) ;

2) х³ – 3х² + 3х – 1 0;

3) x⁴ – 10x² + 9 = 0;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

1. Даны предикаты Р(х): «Число х делится на 3» и Q(x): «Число х делится на 9».

Установите, какие из следующих импликаций истинны для всех натуральных чисел:

1)

2)

3)

4)

1. Изобразите на координатной плоскости множество истинности следующих двухместных предикатов:

1. х² = у²;

2. х + 2у = 4;

3. х² + у² = 9;

4. х² + у² 9;

5. х² + у² 9;

6. х² + у² = 0;

7. х² + у² = – 4;

8. ху = 0.

1. Определите, равносильны ли следующие предикаты, если переменные принимают значения из множества:

1) N; 2) Z; 3) Q; 4) R:

1. |x| 0, х² + у² = 0;

2. ;

3. x = y, ;

4. x = y, |x| = |y|.

1. Областью определения предикатов А(х): «2х – 1 В(х): «х + 2х = 0» является множество Х = {–2, –1, 0, 1, …, 10}. Найдите множество истинности каждого из следующих предикатов:

а) ; б) ; в) .

1. Образуйте конъюнкцию отрицаний предикатов: «x x 8», заданных на множестве действительных чисел. Каково множество истинности этой конъюнкции?

2. Областью определения предикатов «x – 7 0» и «2x + 8 0» является множество всех действительных чисел.

а) Найдите множество истинности каждого из данных предикатов и изобразите его на числовой прямой.

б) Найдите множество истинности конъюнкции и дизъюнкции данных предикатов.

1. Областью определения предикатов А(х): «3х – 2 В(х): «(х + 2)х = 0» является множество Х = {–2, –1, 0, 1, …, 10}. Найдите множество истинности импликации .

2. Найдите область истинности для следующих предикатов:

   1. (х² – 4 = 0) ( х² – 9 = 0);

   2. (х² – 6х + 8 = 0)( х² – 16 = 0);

   3. (х² – 6х + 8 = 0)( х² – 16 = 0);

   4. (х² – 4 = 0) (х² = 4);

   5. (х² – 4 = 0) (х = 2);

   6. (х² – 6х + 8 = 0) (х² – 9 0);

   7. ;

   8. |9 – x| + |x + 1| = 10;

   9. |x| = |x + 1|;

   10. |x – 5| |x + 1|.

3. Изобразите на координатной плоскости множество истинности следующих предикатов:

   1. x 0 у 0;

   2. x 0 у 0;

   3. (x 0) (у 0) (х² + у² 9);

   4. x 0 у 0;

   5. х² = у² х = у;

   6. ху ;

   7. |xy| 0 (х² + у² = 0).

4. Выясните, следует ли хотя бы одна из данных высказывательных форм из другой (х):

   1. |x| х² – 3х + 2 = 0;

   2. х⁴ = 16, х² = 4;

   3. х² + х – 6 = 0, (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0;

   4. x – 1 0, (x – 2)(x – 5) = 0;

   5. х² + 5х = 0, x + 1 = 1 + x.

5. Выясните, являются ли следующие высказывательные формы эквивалентными, если х:

   1. |х| 0, (x + 1)² = х² + 2х + 1 = 0;

   2. |x| 3, х² – 9 0;

   3. |x| х² + 4

   4. x 0, х² 0;

   5. x = x, ;

   6. x 2, x 2;

   7. x 2, x 2.

6. Найдите множество значений а, при которых данные предикаты эквивалентны:

1) х² – ах + 1 = 0, х = 1;

2) |x| a, (x – 3)² = х² – 6х + 9 = 0;

3) |x| a, ;

4) х² + a² = 0, .

1. Сформулируйте следующие высказывания, пользуясь обычным языком; установите их истинность или ложность:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1. На множестве натуральных чисел заданы предикаты Р(х): «Число х четное» и Q(x):”Число х кратно 4». Сформулируйте следующие высказывания, пользуясь обычным языком, и укажите среди них истинные:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1. Свяжите переменную квантором так, чтобы получилось истинное высказывание (переменные x, y, z принадлежат R):

   1. |x| = –x; 2) x² 0;

3) y² + 2 0; 4) sin z 2;

5) число букв в слове х равно 4;

6) все дороги из пункта х ведут на юг;

7) В треугольнике Y сумма внутренних углов равна 180º.

1. Запишите данные предложения, используя символы и обозначения математической логики:

   1. «Либо каждый любит кого-нибудь, и ни один не любит всех, либо некто любит всех, и кто-то не любит никого»;

   2. «Ты можешь обманывать кое-кого все время, ты можешь обманывать всех некоторое время, но ты не можешь обманывать всех все время».

2. Запишите в символической форме высказывания:

   1. «Если х и у – натуральные числа, произведение которых делится на простое число р, то хотя бы один из множителей делится на р»;

   2. «Для каждой прямой х на плоскости и каждой точки этой плоскости найдется прямая, проходящая через эту точку и параллельная прямой х».

3. Пусть X, Y, Z – множества прямых на плоскости. Прочтите следующие высказывания и укажите среди них истинные:

1) (x || y); 2) x y (x y); 3) y x (x || y);

4) x y z ((x || y || z) x || z);

5) x y z ((x y y z) x || z);

6) x y z ((x || z y || z) x || y);

7) x y z ((x y y z) x z).

1. Эквивалентны ли высказывания «Каждую задачу решил по крайней мере один ученик» и «По крайней мере один ученик решил все задачи»? Следует ли хотя бы одно из них из другого? Почему?

2. Пусть Р(х) – высказывательная форма «Число х делится на 5», а Q(x) означает «Число х четно». Прочтите высказывание (Р(х) Q(x)) и постройте его отрицание.

3. Пусть Р(х, у) – высказывательная форма «Окружность х вписана в треугольник у». Прочтите высказывания:

1) x y Р(х, у); 2) х у Р(х, у); 3) х у Р(х, у);

4) у х Р(х, у); 5) у х Р(х, у); 6) х у Р(х, у)

и постройте их отрицания.

1. Докажите или опровергните следующие предложения, образовав их отрицания:

   1. «Все простые числа нечетны»;

   2. «Всякий четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, - ромб»;

   3. «Все корни уравнения |x| = –1 – рациональные числа»;

   4. «Все элементы пустого множества принадлежат множеству М»;

   5. «Всякое квадратное уравнение имеет действительный корень».

2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний в утвердительной форме(т.е. так, чтобы отрицание данного высказывания не начиналось со слов «не» или «неверно, что»):

   1. «В каждом городе есть район, в каждой школе которого есть класс, все ученики которого учатся без троек»;

   2. «Существует город, в каждом районе которого есть футбольная команда, все игроки которой не старше 18 лет»;

   3. «В каждом городе есть улица, на которой по крайней мере в одном доме все окна выходят на юг».