Задание 19. Вариант 1 из 50 вариантов ЕГЭ база 2023

Задание 19. Вариант 1 из 50 вариантов ЕГЭ база 2023

Задание 19. Найдите трёхзначное натуральное число меньше 500, которое при делении и на 8, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Сначала найдем трёхзначное натуральное число меньше 500, которое нацело делится на 8 и 5 и последняя цифра равна 0. Такое число можно построить из числа  , умножив его на какое-либо натуральное, например, на 6, получим трехзначное

40∙6 = 240,

которое нацело делится на 5 и на 8.

Далее, необходимо, чтобы последняя цифра этого числа была равна среднему арифметическому суммы первых двух цифр, т.е. (2+4):2 = 3. Полученное значение 3 не делится ни на 5, ни на 8, значит, число

243

будет давать при делении на 5 и 8 остаток 3, являющийся средним арифметическим суммы двух первых цифр числа.

Обратите внимание, если при вычислении трехзначного числа среднее арифметическое первых двух его цифр является не натуральным числом из диапазона от 1 до 9, или оно делится на 5 или 8, то нужно подобрать другое натуральное трехзначное число с другими первыми двумя цифрами.

Ответ: 243 (также подходят: 201, 402, 444).

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)

Решение.

Пусть на лестничной площадке x квартир. Тогда можно записать

квартир в 8 подъездах 12-ти этажного дома. Очевидно, должно выполняться условие:

(иначе Сашиной квартиры не окажется в 8-м подъезде). Отсюда получаем:

Допустим, x=5 (должно быть целым числом). Тогда

5∙96 = 480

подходит. Если же (для проверки) взять x=6, то имеем:

6∙96 = 576,

а в подъезде всего 12x = 12∙6 = 72 квартиры, и 576-72 = 504

(здесь   - оператор округления до ближайшего наибольшего целого).

Ответ: 10.