Задания по разделу "Элементы теории вероятностей"

Задания по разделу «Элементы теории вероятностей»

Теория вероятностей.

Определение вероятности.

Полное (достоверное) событие.

Невозможное событие.

Совместные и несовместные (несовместимые) события.

Независимые события.

Противоположное событие.

Правило произведения.

Правило суммы.

1. На 1000 лампочек в среднем приходится 7 бракован­ных. Какова вероятность, что взятая наугад лампочка окажется исправной?

2. Из 800 поступивших в продажу батарей в среднем 780 батарей заряжены. Какова вероятность, что взятая наугад бата­рея будет не заряжена?

3. Конкурс проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному из каждой страны. В 1^й день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в 3^й день конкурса?

4. На соревнования по прыжкам в воду приехали 6 спортсменов из Италии, 3 из Германии и 3 из России. Какова вероятность того, что третьим будет выступать спортсмен из Германии?

5. В соревнованиях по теннису участвуют 76 спортсменов. Из них 4 спортсмена из России (Иванов, Петров, Сидоров и Кузнецов). Какова вероятность того, что в первом туре Иванов встретится:

а) с Петровым;

б) с кем-нибудь из России;

в) со спортсменов из другой страны;

г) с Сидоровым или Кузнецовым;

д) с Петровым, а во втором туре с Кузнецовым?

6. В чемпионате участвуют 25 команд. Их делят на 5 групп по 5 команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с цифрами: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность, что команда Франции окажется в первой группе?

7. На экзамен по предмету «дискретная математика» вынесено 25 во­просов. Студент не выучил 7 из этих вопросов. Для получения положи­тельной оценки студенту необходимо ответить на один вопрос, выбранный случайным образом. Найдите вероятность того, что студент получит поло­жительную оценку.

8. В коробке с карандашами лежат 5 красных, 8 синих, 3 жёлтых и 9 зелёных карандашей. Какова вероятность, что взятый наугад карандаш ока­жется синим?

9. Новогодняя гирлянда состоит из 250 красных, 300 зелёных, 100 жёл­тых и 150 синих лампочек. Одна из лампочек перегорела. Какова вероят­ность, что перегоревшая лампочка красного или синего цвета?

10. Из слова «аттестация» случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что выбранная буква окажется гласной?

11. Из слова «максимум» случайным образом выбирается одна буква. Ка­кова вероятность, что будет выбрана буква, которая встречается в этом слове только один раз?

12. Из слова «математика» случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что будет выбрана буква, которая встречается в этом слове более одного раза?

13. Игральные карты. Какова В* (вероятность) того, что вытащенная наудачу карта окажется:

1) червовой масти,

2) семеркой,

3) черного цвета,

4) картинкой (валет, дама или король)?

14** Задача. Пусть есть 2 стрелка. В* попадания в цель первого стрелка – 0,8, т.е. , а второго – 0,9, т.е. . Какова В* того, что:

а) оба попадут в цель;

б) оба промахнутся;

в) попадет хотя бы один из них;

г) попадет только один из них?

15. Маша загадала натуральное число, меньшее 1000 и делящееся на 39. Петя угадывает это число, называя на своё усмотрение три любых числа. Какова вероятность, что загаданное Машей число будет среди чисел, названных Петей?

16. Какова вероятность, что три цифры регистрационного номера автомобиля, выбранного случайным образом, образуют трёхзначное число, делящееся на 20? (Замечание: регистрационный номер автомобиля содержит три цифры от 0 до 9, причём сразу три цифры 0 встречаться в номере не могут). Если ответом является бесконечная десятичная дробь, после запятой, то округлите результат до 0,001.

17. В классе 21 ученик. Класс разбили на 3 равные группы. Какова вероятность того, что два друга Сережа и Володя попадут в одну группу? (2 способа).

* Монеты (можно решать 2 способами).

18. Найдите вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты оба раза выпадет «решка».

19. Найдите вероятность того, что при трех подбрасываниях монеты все 3 раза выпадет «орёл».

20. Найдите вероятность того, что при 2-х подбрасываниях выпадет одна и та же сторона монеты.

21. Найдите вероятность того, что при первых 3 подбрасываниях вы­падут обе стороны монеты.

22. Найдите вероятность того, что при первых четырёх подбрасываниях «орёл» выпадет три раза.

* Игральные кости.

23. Какова В* того, что при подбрасывании одной игральной кости выпадет число «5»?

24. Какова В* того, что при подбрасывании одной игральной кости выпадет четное число?

25. Какова В* того, что при подбрасывании двух игральных костей выпадут цифры 4 и 6?

26. Какова В* того, что при подбрасывании двух игральных костей получим сумму, равную 8?

27. Какова В* того, что сумма при подбрасывании двух игральных костей будет менее 5 очков?

28 Сумма очков при подбрасывании игральной кости 2 раза равна 9. Какова вероятность, что при первом подбрасывании выпала цифра 5?

29. Сумма очков при подбрасывании игральной кости 2 раза равна 3. Какова вероятность, что при первом подбрасывании выпала цифра 1?

30. При подбрасывании двух игральных костей получилась сумма 8. Какова В* того, что хотя бы на одной из них выпадет цифра 4?

31. Петя с Сашей играют в кости. Они бросают кость по 1 разу. Найдите вероятность того, что Петя проиграл, если:

1) в сумме выпало 9 очков;

2) в сумме выпало 10 очков;

3) в сумме выпало 11 очков;

32. Какова В* того, что сумма при подбрасывании трех игральных костей будет равна 15?

* Карты.

33. В колоде 36 игральных карт. Из нее наугад вытаскивают 1 карту. Какова В* того, что это будет:

а) «восьмерка»,

б) карта пиковой масти,

в) красная карта,

г) черная шестерка.

34. В колоде 36 игральных карт. Из нее наугад вытаскивают 2 карты. Какова В* того, что это будет:

а) две дамы,

б) 2 короля одного цвета,

в) карты одной масти,

г) карты разного цвета,

д) хотя бы одна карта черная,

е) сумма очков, равная 6.

35.Вероятность попадания в цель хотя бы 1 раз менее чем с 12 выстрелов, равна 0,92, а менее чем с 11 выстрелов – 0,89. Какова вероятность попадания в цель хотя бы 1 раз с 11 выстрелов?

36. Вероятность попадания в цель с 10 выстрелов более 7 раз равна 0,65, а не более чем 3 раза – 0,21. Какова вероятность попадания в цель с 10 выстрелов от 4 до 7 раз?

37. В коробке лежат 7 чёрных шаров. Какое наименьшее число белых ша­ров нужно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки чёрный шар была не больше 0,3?

38. В коробке лежат 3 ручки с синей, 4 с зелёной и 5 с красной пастой. Какое наибольшее число ручек с черной пастой можно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки ручку с красной пастой была не меньше 0,15?

39. В коробке лежат 10 белых и 30 чёрных шаров. Какое наибольшее число чёрных шаров можно вынуть из этой коробки, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки белый шар была не больше 0,6?

40. На отрезке [-1; 19] числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Какова вероятность того, что координата отмеченной точки будет отри­цательна?

41. На интервале (-6; 10) числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Какова вероятность, что координата отмеченной точки будет боль­ше –3, но меньше 4?

42. В квадрате с длиной стороны 1 случайным образом отмечают одну точ­ку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей к ней стороны квадрата окажется больше, чем 0,2?

43. В прямоугольнике с длинами сторон 5 и 8 случайным образом отмеча­ют одну точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до бли­жайшей к ней стороны прямоугольника окажется меньше, чем 1?

44. В коробке лежат два чёрных и три белых шара. Из коробки наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что оба вынутых шара окажутся чёрными?

45. В коробке лежат два чёрных и три белых шара. Из коробки наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что вынутые шары окажутся од­ного цвета?

46. В коробке лежат три чёрных и три белых шара. Из коробки наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что вынутые шары окажутся разных цветов?

47. При подготовке к зачётам по двум предметам студент выучил по одному предмету 18 вопросов из 25, а по другому предмету – 16 вопросов из 20. Чтобы получить «зачёт» по предмету, студенту необходимо отве­тить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент получит «зачёт» по обоим предметам?

48. При подготовке к зачётам по двум предметам студент выучил по одному предмету 19 вопросов из 24, а по другому предмету – 27 вопросов из 36. Чтобы получить «зачёт» по предмету, студенту необходимо отве­тить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент:

а) не получит «зачёт» хотя бы по одному из этих двух предметов;

б) получит «зачёт» хотя бы по одному из этих двух предметов?

49. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

50. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Если шахматист А. играет белыми, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

51*. Некоторый прибор состоит из трёх блоков. Если в работе одного из блоков происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя в тече­ние года для первого блока составляет 0,2, для второго блока – 0,3, а для третьего блока – 0,1. Какова вероятность, что в течение года произойдёт хотя бы одно отключение данного прибора?

52*. Зенитно-ракетный комплекс (ЗРК) поражает летящую цель одной ракетой с вероятностью 0,9. Какова вероятность, что эта цель будет поражена, если из этого ЗРК по ней выпустили сначала одну ракету, а затем – вторую ракету?

53*. Вероятность хотя бы одного попадания при 4-х выстрелах составляет 0,9984. Какова вероятность попадания при одном выстреле?

Домой.

1. На 400 компакт-дисков в среднем приходится 6 бракованных. Какова вероятность, что взятый наугад -диск окажется исправен?

2. В чемпионате участвуют 20 команд. Их делят на 4 групп по 5 в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с цифрами: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность, что команда Великобритании окажется во второй группе?

3. В коробке с новогодними украшениями лежат 12 красных, 11 зелёных, 9 жёлтых и 8 синих шаров. Какова вероятность, что взятый наугад шар окажется зелёным?

4. В магазине на полке стоят CD-диски с фильмами, среди которых 385 комедийных фильмов, 110 триллеров, 160 фильмов в жанре «фантасти­ка» и 95 мультипликационных фильмов. Какова вероятность, что взятый наугад диск будет содержать либо комедийный, либо мультипликацион­ный фильм?

5. Таня написала в блокноте трёхзначное число, делящееся на 28. Коля должен угадать это число, написав на своё усмотрение шесть трёхзначных чисел. Какова вероятность, что Коля угадает загаданное Таней число?

6. Из слова «статистика» случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что будет выбрана буква, которая встречается в этом слове ровно два раза?

7. Какова вероятность, что первая цифра регистрационного номера автомобиля, выбранного случайным образом, есть цифра 0, а оставшиеся цифры образуют двузначное число, делящееся на 5? (Если ответом является бесконечная десятичная дробь, после запятой, то округлите до 0,001).

8. Найдите вероятность того, что в первые три подбрасывания монеты выпадет «решка».

9. Найдите вероятность того, что при первых четырёх подбрасываниях «орёл» и «решка» выпадут по два раза.

10. Какова В* того, что при подбрасывании двух игральных костей выпадут две «5»?

11. Какова В* того, что при подбрасывании трех игральных костей выпадут только четные цифры?

12. Какова В* того, что сумма при подбрасывании двух игральных костей будет не меньше 9 очков?

13. Петя с Сашей играют в кости. Они бросают кость по 1 разу. Найдите вероятность того, что Петя проиграл, если в сумме выпало 6 очков.

14. В колоде 36 игральных карт. Из нее наугад вытаскивают 1 карту. Какова В* того, что это будет:

а) «туз», б) карта червовой масти, в) черная карта, г) красная дама.

15. В колоде 36 игральных карт. Из нее наугад вытаскивают 2 карты. Какова В* того, что это будет:

а) две семерки, б) 2 дамы одного цвета, в) карты одной масти, г) карты разного цвета, д) хотя бы одна карта красная, е) сумма очков, равная 9.

16.Вероятность попадания в цель хотя бы 1 раз менее чем с 10 выстрелов, равна 0,82, а менее чем с 9 выстрелов – 0,77. Какова вероятность попадания в цель хотя бы 1 раз с 9 выстрелов?

17. Вероятность попадания в цель с 10 выстрелов более 8 раз равна 0,71, а менее чем 4 раза – 0,34. Какова вероятность попадания в цель с 10 выстрелов от 4 до 8 раз?

18. В коробке лежат 5 коричневых карандашей, 7 черных и 9 красных. Какое наибольшее число черных карандашей можно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки коричневый каран­даш была не меньше 0,12?

19. В коробке с новогодними украшениями лежат 15 красных, 3 зеленых, 6 жёлтых и 9 лиловых шаров. Какое наименьшее число красных шаров нужно вынуть из этой коробки, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки лиловый шар была больше 0,4?

20. На отрезке [-3; 12] числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Какова вероятность, что координата отмеченной точки будет боль­ше –1, но меньше 2?

21. В прямоугольнике с длинами сторон 8 и 10 случайным образом отмеча­ют одну точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до бли­жайшей к ней стороны прямоугольника окажется меньше, чем 2?

22. В коробке лежат два чёрных, два белых и один красный шар. Из ко­робки наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что вынутые шары окажутся одного цвета?

23. В коробке лежат три чёрных, два зеленых и два синих шара. Из ко­робки наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что вынутые шары окажутся разных цветов?

24. При подготовке к зачётам по двум предметам студент выучил по одному предмету 12 вопросов из 18, а по другому предмету – 15 вопросов из 20. Чтобы получить «зачёт» по предмету, студенту необходимо отве­тить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент: а) не получит «зачёт» хотя бы по одному из этих двух предметов; б) получит «зачёт» хотя бы по одному из этих двух предметов?

25. Вероятность попадания в цель 0,8. Какова вероятность того, что в эту цель попадут, если в нее стреляют сначала один раз, в случае промаха – второй раз, а если опять будет промах, то – третий?