Задания школьного тура олимпиады по математике

Задания I (отборочного) этапа

республиканской олимпиады по математике

2020-2021 учебный год

5 класс

Задача № 1 
Выразите числа 5, 30 и 100 используя четыре цифры 5, знаки арифметических действий и скобки.

Задача № 2 
Нюша , Бараш, Копатыч и Лосяш играли с мячами синим, зелёным, жёлтым и красным. Каким из мячей играл каждый из них, если мяч Бараша не синий, у Нюши не синий и не красный, а у Копатыча желтый мяч?

Задача № 3

Задуманное число добавили к числу, большему его на единицу. Затем из суммы вычли число, на единицу меньшее задуманного. В итоге получилось 23. Какое число было задумано

Задача № 4
Какое наименьшее 10-значное число можно получить, по-разному записывая
шесть чисел 315, 41, 6, 7, 63 и 2 одно за другим?

Задача № 5
В букете 11 цветов, причём 5 из них – красные, а 6 – розы.
Какое число белых гвоздик может быть в букете?

Задача № 6
Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 300 метров?

Задача № 7 
Из квадрата со стороной 100 тетрадных клеточек вырезали квадрат со стороной 80. Оставшийся кусок разрезали на единичные квадратики (это можно сделать), из которых Андрей хочет сложить новый квадрат.
Чему будет равна его сторона?

Задача № 8 
В некотором месяце три воскресенья пришлись на чётные числа.
Каким днём недели могло быть 22 число этого месяца?

Задача № 9 
Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите и получила 2011533. Как её зовут?

Задания I (отборочного) этапа республиканской олимпиады по математике 2020-2021 учебный год 6 класс

Задача № 1

Две бутылки A и B заполнены водой. Сначала 1/4 воды из A перелили в B , а затем 1/3 воды из B перелили в A, после чего количество воды в них сравнялось. Найдите первоначальное отношение количества воды в этих бутылках.

Задача № 2 

В некотором месяце три понедельника пришлись на нечётные числа.
Каким днём недели могло быть 21 число этого месяца?

Задача № 3

Известный бизнесмен пришел в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100- долларовых купюр старого образца. Ему было выдано 1999 купюр достоинством 1, 5 и 25 долларов. Докажите, что его обсчитали.

Задача № 4
Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 1000 метров?

Задача 5

Терпеливая Маша обшивает квадратную салфетку тесьмой по краю за 1 час.
Сколько часов ей понадобится, чтобы обшить квадратную салфетку,
площадь которой в 4 раза больше?

Задача 6
Четыре белки съели 1999 орехов, каждая не меньше, чем 100.
Первая белка съела больше всех. Вторая и третья вместе съели 1265 орехов.
Сколько орехов съела первая белка?

Задача 7

Старые часы отстают на 20 секунд в час. Сколько времени они покажут через сутки после того, как стрелки установили на 12 часов?

Задача 8

Старый гном разложил свои сокровища в 3 разноцветных сундука, стоящих у стены. В один – драгоценные камни, в другой – золотые монеты, а в третий – магические книги. Он помнит, что красный сундук правее, чем драгоценные камни. А магические книги правее, чем красный сундук. В каком сундуке лежат магические книги, если зелёный сундук стоит левее, чем синий?

Задача 9
Среднее арифметическое шести чисел равно 17. После того, как одно из шести чисел удалили, среднее арифметическое оставшихся пяти чисел оказалось равно 19. Чему было равно удалённое число?

Использование калькуляторов запрещено

Задания I (отборочного) этапа

республиканской олимпиады по математике

2020-2021 учебный год

7 класс

Задание 1

Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 1000 метров?

Задание 2

Углы КОМ и МОР – смежные. Луч ОА – биссектриса КОМ, а луч ОС

проходит между сторонами МОР. Докажите, что луч ОС является

биссектрисой МОР, если АОС прямой.

Задание 3

На столе лежат фрукты трех видов: яблоки, груши и персики. Известно,

что яблок на 8 меньше, чем всех остальных фруктов, а груш – на 14 меньше,

чем всех остальных фруктов. Сколько персиков лежит на столе? Обязательно

объясните свой ответ.

Задание 4

Коммерсант занялся торговлей. Каждое утро он покупает товар на

некоторую часть имеющихся у него денег (возможно, на все имеющиеся у

него деньги). После обеда он продает купленный товар в 2 раза дороже, чем

купил. Как нужно торговать, чтобы через 5 дней у коммерсанта было ровно

25 000 рублей, если сначала у него было 1 000 рублей?

Задание 5

Имеются 10 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание

можно определить общий вес любых трех арбузов (на весы разрешается

класть ровно 3 арбуза). Как за шесть таких взвешиваний определить общий

вес всех арбузов?

Задание 6

В мешке у Деда Мороза находятся, меньше ста подарков для Никиты, Веры, Артема и Леши. Дед отдал половину подарков Никите, пятую часть Артему, седьмую – Вере. Сколько подарков досталось Леше?

Использование калькуляторов запрещено

Задания I (отборочного) этапа

республиканской олимпиады по математике

2020-2021 учебный год

8 класс

Задача № 1
Лёша, Ганс и Стас сложились и купили палатку. Стас заплатил 60% от её цены, Лёша 40% от оставшейся суммы, а Ганс – последние 30 долларов.
Сколько стоила палатка?

Задача № 2
Какой цифрой заканчивается произведение 
7 х 27 х 47 х 67 х 87 х...х 1987 х 2007 ? 

Задача № 3
Найдите такие четыре натуральных числа, что произведение любых трех из них, сложенное с единицей, делится на четвертое.

Задача № 4
Определите день и месяц рождения некоего человека, если у него сумма произведений числа месяца на 12 и номера месяца на 31 равна 436.

Задача № 5

В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. На стороне AB обозначена точка M так, что MD AC и МDA=MDB. Определите длину отрезка DC, если AD=5.

Задача № 6

Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 1000 метров?

Задача № 7
Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять? 

Задача № 8
ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM. 

Использование калькуляторов запрещено

Задания I (отборочного) этапа

республиканской олимпиады по математике

2020-2021 учебный год

9 класс

1. Садовник должен посадить 10 кустов роз за три дня. Сколькими

способами он может распределить по дням свою работу, если будет

высаживать не менее одного куста в день?

1. Докажите, что число является целым.

1. Ненулевые числa a и b удовлетворяют условию 6a+6b =

Чему может равняться значение выражения ?

1. Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 1000 метров?

1. 45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей?

1. Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке, а Дима в каждой промежуток между числами вписал их сумму. Могло ли так случиться, что все написанные Димой числа оказались различными?

1. Отец в пять раз старше сына. Отец окончил институт в 22 года. С тех пор прошло время, которое равно половине того, которое нужно сыну, чтобы ему тоже стало 22 года. Сколько сейчас лет сыну и сколько – отцу?

Использование калькуляторов запрещено

Задания I (отборочного) этапа

республиканской олимпиады по математике

2020-2021 учебный год

10 класс

1. Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь замка?

1. Известно, что a2 + b = b2 + c = c2 + a. Какие значения может принимать выражение a(a2 — b2) + b(b2 — c2) + c(c2 — a2)?

1. Сравните величины углов BAC и CED (см. рисунок). Свой ответ обоснуйте.

1. Дана трапеция, основания которой равны а и 3а, боковые стороны 2а. Определите расстояние между центрами вписанной и описанной

окружностей.

1. Для участия в соревнованиях в спортивный городок прибыли

30 спортсменов: волейболисты, баскетболисты, гандболисты и футболисты.Среди приехавших оказалось:

баскетболистов и футболистов вместе – вдвое меньше, чем волейболистов,а баскетболистов и гандболистов вместе – вдвое больше, чем футболистов. Сколько для участия в соревнованиях прибыло волейболистов, если спортсменов каждого вида спорта было разное количество?

Использование калькуляторов запрещено

Задания I (отборочного) этапа

республиканской олимпиады по математике

2020-2021 учебный год

11 класс

Задание 1

Лёша, Ганс и Стас сложились и купили палатку. Стас заплатил 60% от её цены, Лёша 40% от оставшейся суммы, а Ганс – последние 300 рублей.
Сколько стоила палатка?

Задание 2.

На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение?

Задание 3

На плоскости дан квадрат ABCD со стороной 1 и точка Х за пределами квадрата. Известно, что XA = , XC = . Чему равно XB?

Задание 4

Решите уравнение: + = 7

Задание 5

Для участия в соревнованиях в спортивный городок прибыли 30 спортсменов: волейболисты, баскетболисты, гандболисты и футболисты. Среди приехавших оказалось: баскетболистов и футболистов вместе – вдвое меньше, чем волейболистов, а баскетболистов и гандболистов вместе – вдвое больше, чем футболистов. Сколько для участия в соревнованиях прибыло волейболистов, если спортсменов каждого вида спорта было разное количество?

Использование калькуляторов запрещено