Закон логики (8 кл)

Общая цель урока: сформулировать законы математической логики, научиться преобразовывать логические выражения, используя логические законы.

Опорные понятия, используемые в процессе урока:

- логика, логические операции, логические выражения

Новые понятия, используемые в процессе урока:

- законы логики, формализация.

Решаемые учебные задачи:

- Познакомить учащихся с законами математической логики; сформулировать правила преобразования логических выражений;

- научить учащихся приводить логическое выражение к нормальной форме;

- Развитие логического мышления. 

Средства ИКТ, используемые на уроке:

• персональный компьютер (ПК) учителя, мультимедийный проектор, экран;

• ПК учащихся.

Методика проведения урока:

Формирование проблемы урока

Задание на соответствие:  Даны 2 столбца: «Определения» и «Понятия» Установите между ними соответствие.

Объявление темы и цели урока

Сегодня на уроке мы будем строить таблицы истинности, и решать логические задачи с помощью законов математической логики.

Учебные материалы:

Для связи между мыслями используются логические операции, для которых существуют основные законы формальной логики. Таковыми являются законы тождества, коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный.

С целью упрощение сложных высказываний их можно заменить на равносильные на основе законов алгебры высказываний с целью получения высказываний более простой формы. Рассмотрим примеры упрощений.

Пример 1. Требуется упростить: А & В v A & НЕ (В).

По закону дистрибутивности и вынесем А за скобки:

А & В v А & НЕ (В) = А & (В v НЕ(В)) = А & 1 = А.

Пример 2. Требуется упростить: (A v В) & (A v HE (В)).

Применим закон дистрибутивности:

(A v В) & (A v НЕ (В)) = A v (В & НЕ (В)) = A v 0 = А.

Пример 3. Требуется упростить: НЕ(НЕ(Х) ИЛИ НЕ(Y)).

Применим закон де Моргана:

НЕ(НЕ(Х) ν НЕ(У))=НЕ(НЕ(Х)) & НЕ(НЕ(У))=Х & У

Задания для учащихся:

Задание 1.

Найти среди перечисленных сложных суждений противоречащие и эквивалентные:

1. А знает В, но В не знает А.

2. А и В не знают друг друга.

3. Неверно, что А и В не знают друг друга.

4. Тогда как В знает В, А не знает В.

5. Если А знает В, то В знает А.

6. Неверно, что В знает А только тогда, когда А знает В.

7. Неверно, что А знает В или В знает А.

8. А не знает В или В не знает А.

Задание 2.

Пусть а - истинное высказывание, b - ложное высказывание. Определить значение истинности следующих сложных высказываний:

1. (a v b) ⊃ a

2. (a & b) ⊃ a

3. a ⊃ (a & b)

4. a ⊃ (a v b)

5. (a ⊃ b) ⊃ a

6. a ⊃ (b ⊃ a)

7. ~a ⊃ ~(a v b)

8. ~(a ⊃ a & b)

9. (a & ~a) ⊃ b

10. (a ⊃ (b & ~b)) ⊃ ~a

Задание 3.

Упростите логические выражения. Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул.

a) A v (НЕ(А)&.В);

б) А &(НЕ(A) v В);

в) (А v В)&( НЕ(В) v А)&(НЕ(С) v В)

г) (1 v (A =B))v((A v C)&1)

Задание 4.

И спользуя законы логики упростить выражение:

1)

2) (AB)+B= A+B+B = A+B

3)

4) Найдите X, если

Задание 5.

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (A / B) / ¬C?

1)¬A / B / ¬C 2)(¬A / ¬B) / ¬C 3)(¬A / ¬B) / C 4)¬A / ¬B / ¬C

Задание 6.

"Прогноз погоды". На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра? 
Решим эту задачу средствами алгебры логики.

Решение:

  1.         Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
       A – «Ветра нет»
       B – «Пасмурно»
   С – «Дождь»

   2.          Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:
     Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: 
     A → B & C 
     Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
     С → B & A 
     Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
     B → C & 
     Запишем произведение указанных функций:
    F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A) 
   

Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

F=(A→ B & ¬C) & (C→B & A) & (B→ C & A)

 = (¬A v B & ¬C) & (¬C v B&A) & (¬B v C&A) =

= (¬A v B & ¬C) & (¬B v C&A) & (¬C v B&A) =

= (¬A &¬ B v B&¬C&¬B v ¬A&C&A v B&¬C&C&A) & (C v B&A)=

= ¬A & ¬B &(C v B&¬A) =A&¬B&C v¬ A&¬B&B&¬A =

= ¬A&¬B&¬C

3.         Приравняем результат  единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:F = ¬A &¬ B & ¬C = 1 и проанализируем результат:

Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.

¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1.значит: A = 0; B = 0; C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

Задание 7.

«Поход в кино». Рустам, Аня и Мээрим решили пойти в кино. Каждый из них высказал свои пожелания по поводу выбора фильма.

Рустам сказал: «Я хочу посмотреть французский боевик».

Мээрим сказала: «Я не хочу смотреть французскую комедию».

Аня сказала: «Я хочу посмотреть американскую мелодраму».

Каждый из них слукавил в одном из двух пожеланий. На какой фильм пошли ребята?

Решение:

1.         Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

А — «Французский фильм»

В — «Боевик»

С — «Комедия»

2. Запишем логические функции (сложные высказывания). Учтем условие о том, что каждый из ребят оказался прав в одном предположении:

а) «Французский боевик» ¬A&B˅A&¬B

б) «Американскую мелодраму» ¬¬A&¬B˅¬ А &¬¬В

в) «Нефранцузская комедия» ¬¬A&C˅¬A&¬C

3. Запишем произведение:
  (¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)=1.

Упростим формулу: (¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)=

(¬A&B˅A&¬B) & (A&¬B˅¬ А&В)&( A&C˅¬A&¬C)=

=(¬A&B& A&¬B˅ A&¬B& A&¬B˅¬A&B &¬А&В˅ A&¬B&¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)=

=(A&¬B ˅¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)= A&¬B& A&C˅¬A&B& A&C˅ A&¬B&¬A&¬C˅¬A&B&¬A&¬C= ¬A&B&¬C˅ A&¬B&C =1

6. Составим таблицу истинности для выражения:
 ¬A&B&¬C˅ A&¬B&C:

7. Найдем по таблице значения переменных, для которых F=1.

 А)

8. Проанализируем результат:

 Результат Б) не является решением, т.к. в ответе Мээрим оба утверждения оказываются неверными, что проти­воречит условию задачи.

 Результат А) полностью удовлетворяет усло­вию задачи и поэтому является верным решением.

Ответ: ребята выбрали американский боевик.

Задания из учебника

Решение:

Введем следующие обозначения:  

«Это сосуд греческий» — G; 
«Это сосуд финикийский» — F; 
«Сосуд изготовлен в III веке» — V₃;
«Сосуд изготовлен в IV веке» — V₄;
«Сосуд изготовлен в V веке» — V₅.

Формализуем задачу, записав в данных обозначениях условия задачи.

Со слов учителя следует, что Индира права только в чем-то одном: или G = 1, или V₅ = 1.

Таким образом, тождественно истинным будет высказывание: G¬V₅ v¬GV₅.=1

Аналогично, из слов Эмиля и учителя следует: F¬V₃ v ¬FV₃ = 1,

а из слов Лены и учителя: ¬G¬V₄ v GV₄ = 1.

Кроме того, ясно, что сосуд может быть изготовлен только в одном из веков и только в одной из стран. Эти условия можно записать так:

V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5 = 1,

F¬G v ¬FG = 1.

Итак, мы получили пять тождественно истинных высказываний. Их нужно логически перемножить. Резуль­тат должен быть также тождественно истинным высказыванием:

1 = (G¬V₅ v ¬GV₅) & (F¬V₃ v ¬FV₃) & (¬G¬V₄ v GV₄) & (F¬G v ¬FG) &(V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5) =

 (упростим: сначала перемножим первую и третью скобки и вторую и четвертую скобки)

=(G¬V₅¬G¬V₄˅¬GV₅¬G¬V₄  ˅ G¬V₅GV₄  ˅ ¬GV₅ GV₄)&( F¬V₃F¬G˅¬FV₃ F¬G˅ F¬V₃ ¬FG  ˅ ¬FV₃¬FG) & (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5) =

учитывая, что, G¬G = 0, GG = G,¬ G¬G =¬ G, упростим выражения в первой и второй скобках:

=(¬GV₅¬V₄  ˅ ¬V₅GV₄ ) &( ¬FV₃G ˅¬V₃ F¬G)& (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5) =

(перемножим первую и вторую скобки и упростим полученное выражение)

(¬GV₅¬V₄  ¬FV₃G˅¬V₅GV₄¬FV₃G˅¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F¬G ˅ ¬V₅GV₄¬V₃F¬G) & (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ (¬V3¬V4V5)=(¬V₅V₄¬FV₃G˅¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F) & (V3¬V4¬V₅  ˅ ¬V3V4¬V5  ˅ ¬V3¬V4V5)= ¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F¬GV₅¬V₄  ¬V₃ F=1, если ¬G=1, V₅=1, ¬V₄ =1_, ¬V₃=1, F=1

Ответ: сосуд финикийский и изготовлен в V веке.

Подведение итогов.

Рефлексия.  

• Какова была цель нашего урока?

• Достигли ли мы этой цели?

• Если нет, что помешало?

• Если да,  то, что помогло?