Занятие №37. Исследование функций и построение графиков. Презентация.

Занятие №37 Исследование функций и построение графиков

Цель занятия:

Ознакомить обучающихся с алгоритмом исследования функций, научить исследовать функции, заданные аналитически и строить их графики

Алгоритм исследования функции

Для исследования функции необходимо пройти следующие этапы:

1. Находим область определения функции:

D(f)=?

Областью определения функции y=f(x), заданной аналитически, называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения.

Находим область изменения функции:

Е(f)-?

Областью изменения функции f(х) называют множество всех чисел f(х), соответствующих каждому х из области определения функции.

2. Выясняем четность функции.

• Если f(-x) = f(x) , то функция f(x) называется четной . График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

• Если f(-x)=-f(x) , то функция f(x) называется нечетной . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

0 , то функция y=f(x) называется периодической . График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков … , [-2T; -T], [-T; 0], [0; T], [T; 2T], … . Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках. " width="640"

3.Выясняем периодичность функции

Если f(x+T) = f(x) при некотором T0 , то функция y=f(x) называется периодической . График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков

… , [-2T; -T], [-T; 0], [0; T], [T; 2T], … .

Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках.

0 , то функция возрастает, если f’(x) , то функция убывает; если производная меняет знак при переходе через критическую точку xo є D , то xo – точка экстремума : если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» – то xo – точка минимума , если же с «плюса» на «минус» – то точка максимума . Если производная сохраняет знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет.   " width="640"

4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности)

Для этого:

• вычисляем производную f’(x) и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых f’(x)=0 или не существует;
• определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если f’(x)0 , то функция возрастает, если f’(x) , то функция убывает;
• если производная меняет знак при переходе через критическую точку

xo є D , то xo – точка экстремума : если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» – то xo – точка минимума , если же с «плюса» на «минус» – то точка максимума . Если производная сохраняет знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет.

0 , то график функции имеет выпуклость вниз; если вторая производная меняет знак при переходе через точку x o є D , в которой f''(x)=0 или не существует, то x o – точка перегиба . " width="640"

5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости вверх/вниз

Для этого:

• вычисляем вторую производную f’’(x) и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых f''(x)=0 или не существует;
• определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости :
• если f’’(x) , то график функции имеет выпуклость вверх ,
• если f’’(x)0 , то график функции имеет выпуклость вниз;
• если вторая производная меняет знак при переходе через точку x o є D , в которой f''(x)=0 или не существует, то x o – точка перегиба .

6 . Находим асимптоты функции.

• Вертикальные:

•  

находим односторонние пределы в граничных точках

или .

Если такие пределы существуют, то прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x) 

• Наклонные асимптоты:

Если выполняется условие lim (f(x) – (kx + b)) = 0,

x

 

то прямая у = kx + b является асимптотой функции у = f(x) при x.

Коэффициенты k и b можно найти следующим образом:

 

• k = b = (f(x) - kx)

0 , функция возрастающая f’(x) , функция убывающая " width="640"

7. Есть ли у функции промежутки, где она возрастает (убывает)?

• f’(x) 0 , функция возрастающая

• f’(x) , функция убывающая

функция f(х) постоянная на этом промежутке. Если в точке x o производная меняет знак c « + » на «-», то x o - точка локального максимума ; Если в точке x o производная меняет знак с « - » на « + », то x o - точка локального минимума . " width="640"

8. Есть ли у нее промежутки знакопостоянства?

• f’(x) = 0 на промежутке, = функция f(х) постоянная на этом промежутке.
• Если в точке x o производная меняет знак c « + » на «-», то x o - точка локального максимума ;
• Если в точке x o производная меняет знак с « - » на « + », то x o - точка локального минимума .

функция непрерывна и возрастает во всей области определения, точек локального экстремума нет. 6. f’’(x) = 2х(х² + 3)/( х²-1) ³ обращается в нуль в точке х=0 " width="640"

Пример

у= х/х²-1

•  

• 1. Знаменатель выражения х/(х 2 – 1) обращается в нуль при

х= -1 и при х = 1, поэтому D(f) = (-∞;-1)U(-1; 1) U (1; +∞).

• 2. Е(f) = R (видно из дальнейшего исследования)
• 3. f(-х) = -f(х) - функция нечетная.
• 4. Функция непериодическая.
• 5. Производная функции в области определения:

f '(x) = ( )' = - и f '(x) = функция непрерывна и возрастает во всей области определения, точек локального экстремума нет.

• 6. f’’(x) = 2х(х² + 3)/( х²-1) ³

обращается в нуль в точке х=0

xo=0 – точка перегиба. На интервалах (-∞;-1) и(0;1) график функции имеет выпуклость вверх, а на интервалах (-1;0) и (1; +∞) - выпуклость вниз. Вычислим координаты нескольких точек: х f (х) 0 1/2 0 2 - 2/3 3 2/3 3/8 " width="640"

Знак второй производной f’’(x)

х

f’’(x)

(-1;0)

-

(0;1)

+

-

+

Вторая производная меняет знак только в одной точке х=0 = xo=0 – точка перегиба.

На интервалах (-∞;-1) и(0;1) график функции имеет выпуклость вверх, а на интервалах (-1;0) и (1; +∞) - выпуклость вниз.

Вычислим координаты нескольких точек:

х

f (х)

0

1/2

0

2

- 2/3

3

2/3

3/8

График имеет вид

.