Золотое сечение

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ, «ЗОЛОТАЯ» ИЛИ «БОЖЕСТВЕННАЯ» ПРОПОРЦИЯ

(сл. 1)

Цель: познакомить учащихся с определением и историей развития и использования золотого сечения в искусстве; развивать внимание, мышление, аккуратность, речь, познавательные интересы, творческие способности, исследовательские умения, интерес к предмету математики на основе знакомства с дополнительной информацией.

Формировать систему ценностей, направленную на максимальный личный вклад в коллективную деятельность в процессе занятия.

ЭКСПЕРИМЕНТ

1 задание:

Вам необходимо нарисовать пейзаж: закат или рассвет.

Покажите мне…

У большинства из вас получился результат, очень похожий на рисунок 1 или 2 (перевернуть 1).

Почему вы и многие другие художники проводят линию именно так? А потому, что линия горизонта разделила высоту картины в отношении близком к золотому сечению. Оказывается, для нашего восприятия такое соотношение привычно, нам кажется такое изображение естественным и гармоничным. (сл. 3)

2задание:

Мне нужен помошник - эксперт, который проверит в каком соотношении проходит линия горизонта на ваших рисунках. Присаживайтесь, пожалуйста.

Если вы подходите к пустой скамейке и садитесь на неё, то вы сядете не посередине скамейки (как-то нескромно, хотя встречаются и такие, ярко выраженные характеры) и, конечно, не на самый край. Если вы измерите длины, на которые своим телом разделили скамейку, то обнаружите, что отношение большего отрезка к меньшему равно отношению всей длины к большему отрезку и равно примерно 1,618.

Это число, называемое золотым сечением, входит в тройку самых известных иррациональных чисел, то есть таких чисел, десятичные представления которых бесконечны и непериодичны. Остальные два числа изучаются в школьном курсе математики: это  – отношение длины окружности к диаметру и е – основание натуральных логарифмов. (сл. 4, 5)

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ

И, хотя золотое сечение и не такое фундаментальное в математике, как два других, оно имеет важное значение для нашего восприятия мира, так как пропорции, отвечающие золотому сечению кажутся нам гармоничными.

Многие из вас, наверное, задумывались, почему природа способна создавать удивительно гармоничные структуры, почему художники, поэты, музыканты, архитекторы создают уникальные произведения искусства из столетия в столетие?

В чем секрет? Какие законы лежат в основе этих творений?

Из многих отношений, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одно, единственное и неповторимое, обладающее уникальными свойствами. Оно отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называют по-разному: «Золотое сечение», «золотая» или «божественная» пропорция.

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

ИЛИ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ?

Золотое сечение было известно еще в древности, о нем упоминается в трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида. С золотым сечением со времени Пифагора связано представление человека о гармонии мира. Именно оно управляет всей нашей жизнью. Тайный смысл этого термина скрыт в глубинах математики, физики, музыки, поэзии, живописи, архитектуре, в окружающей нас природе. (сл. 6)

Золотое сечение является основой построения гармоничных форм, так как является абсолютным законом формообразования в природе, частью которой мы являемся.

Целое всегда состоит из частей, разные части находятся всегда в отношении друг к другу и к целому. Совершенное соотношение частей базируется на принципе золотого сечения. Именно такое соотношение вызывает подсознательное ощущение красоты. Зритель любуется предметами и архитектурой, не осознавая, что его ощущения являются математически спрогнозированными и выверенными с помощью формул и схем, которые дошли до нас из глубины веков. (сл. 7)

Термин «золотое сечение» (aurea sectio) идет от Клавдия Птоломея, который дал это название числу 1,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении.

Художник и инженер Леонардо да Винчи, изучавший и восхвалявший золотую пропорцию на протяжении всей своей жизни, называет ее «золотое сечение». Название Леонардо да Винчи сохранилось и сегодня.

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) - это деление отрезка на части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как сумма к большей.

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой φ (число Фидия) и она равна 1,618… (число бесконечное). Как только это отношение было открыто, его применение сразу вышло за пределы геометрии.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пентаграмма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. (сл. 10)

Правильный пятиугольник называется «Пентагон», а звездчатый пятиугольник, образованный его диагоналями, -«пентаграмма» (от греческих слов «pentagrammon», «pente» - пять и «gramma» - линия). Звездчатый пятиугольник, или попросту пя­тиконечная звезда - одна из са­мых известных и символических геометрических фигур.

Пентаграмма, называемая в народных поверьях «ведьминой стопой», играла большую роль во всех магических науках и рассматривалась как средство защиты от злых духов.

Каждые восемь лет планета Венера описывает абсолютно правильный пентакл по большому кругу небесной сферы.

Здание «Пентагона», военного ведомства США имеет форму пентаграммы.

Когда-то в Советском Союзе существовал Государственный знак качества, в котором явно просматриваются мотивы золотой чаши.

Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги.

В неживой природе, в кристаллографии наблюдаются различные кристаллы с любым числом осей симметрии, кроме пяти. Живая материя вся построена по принципу пентасистемы. Наша планета - также пентасистема.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Его отец - купец Боначчи дал сыну хорошее образование, взяв его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей. (сл. 11)

Итальянский математик 12 века Фибоначчи построил математический ряд (0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55), описывающий процесс размножения кроликов, т.е. сугубо биологический процесс. Легко заметить закон формирования такого ряда: член ряда, начиная с четвертого равен сумме двух предыдущих членов. Если же в таком ряду взять отношение последущего члена к предыдущему или наоборот, то получим уже знакомые нам числа: 1,618 и 0,618. Причем, чем больше порядковые номера членов, тем точнее выполняется «золотое» соотношение. Числа этого ряда так и называются - числа Фибоначчи.

А теперь перейдем к природе, которая дает огромное количество проявлений Золотого Сечения и чисел Фибоначчи. Приведем несколько наглядных примеров проявления Золотого Сечения в природе.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Филлотаксисные структуры, основанные на числах Фибоначчи: сосновая шишка; головка подсолнечника; ананас, головка цветной капусты, цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках «упакованы» по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. Причем числа «правых» и «левых» спиралей, всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Спираль Архимеда распространена не только в природе, но и широко применяется в технике. В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8.

Неудивительно, что стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Ясно одно: именно Золотое Сечение и Числа Фибоначчи и являются важнейшими числовыми закономерностями, которые лежат в основе «Законов Гармонии» природы, науки и экономики.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ИСКУССТВЕ ДРЕВНЕГО ЕГИПТА

Искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Египтяне и вавилоняне начинали применять принцип золотого сечения в архитектуре и скульптуре.

На основе принципов золотого сечения в Древнем Египте были созданы пропор­ции древнеегипетского канона. Cекреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В пропорциях человеческого тела и лица, согласно художественному канону закономерно присутствует отношение золотого сечения: 5/8, 8/13 и т.д.

Канон – это такая система пропорций человеческой фигуры, которая делила изображение на части и позволяла по части определить целое и по одной части тела определить другую. Известно, что египтяне положили в основу деления фигуры 21 часть. В это число входили 19 равных частей разделения самой фигуры, а остальные 2 части приходились на изображение традиционного головного убора. По этим особым правилам жудожники и скульпторы изображали человека (стоящего, идущего, сидящего, коленопреклоненного), священный цветок лотоса, и священных животных. Художники обязаны были заучивать отдельные формулы и схемы изображе­ния по таблицам и образцам.

Канон давал возмож­ность ваятелю при изображе­нии фигуры очень больших размеров (колосса) по величи­не целого судить о размерах отдельных частей и, наоборот, по размерам какой-либо час­ти - о размере всей фигуры. Известно, что египетские скульпторы создавали колоссов по частям, т.е. каждую часть одной и той же фигуры выпол­няли несколько мастеров по­рознь, порой даже в разных местах. Но когда готовые ча­сти складывались вместе, то они точно сходились без на­рушения пропорций.

Египтяне пользовались и специальными сетками – таблицами, которые наносили на поверхность каменной плиты или стены для создания рельефа или росписи. На сохранившихся и дошедших до нас памятниках можно видеть соответствущие членения фигуры на части. Художнику необходимо было знать установленные каноном нормы и научиться вписывать в них изображения, пользуясь сеткой – таблицей. Единая система обучения и строгое соблюдение выработанных норм позволяли выполнять части одного произведения разными мастерами. Когда такие части составляли в единую композицию, то они точно сходились, и не было нарушения пропорций.

Неоспоримым доказательством применения знаний золотого сечения является изображение зодчего Хесира с измерительным инструментом, зафиксировавшим пропорции золотого сечения, а также пропорции пирамиды Хеопса, предметы быта и рельефы из гробницы Тутанхамона.

Достижения египтян и вавилонян удивляли и восхищали ху­дожников Древней Греции. Они специально совер­шали путешествия в Египет, чтобы поучиться уме­нию пользоваться каноном.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ИСКУССТВЕ ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

Греки продолжили и развили традиции египтян в искусстве. Ученые в лице Пифагора и Платона уделили серьезное внимание изучению этого явления. Ставя во главу угла образ человека, они наблюдали и изучали человеческое тело во всех деталях. Греческие художники утверждали, что в мире царит всеобщая закономерность, а сущность прекрасного заключается в строгом порядке, в сим­метрии, в гармонии частей и целого, в правильных математических отношениях.

Эталоном красоты человеческого тела, образцом гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя. В своих творениях греческие мастера использовали принцип золотой пропорции.

Творчество афин­ского скульптора Фидия (V в. до н.э.) оказало влияние на ваятельное искусство всего эллинизма. Самым гармоничным отношением Фидий счи­тал золотое сечение. Благодарная память о скульп­торе до сих пор сохраняется в этом понятии, по­скольку числовое значение золотого сечения обо­значается через φ по первой букве имени Фидия.

Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя Дорифора (копьеносца), изваянная Поликтетом в V веке до н.э. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с Золотым сечением. φ=0,618…

Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства.

Статуя Зевса Олимпийского (работа Фидия (V в. до н.э.)); считалась одним из чудес света

Статуя Афины Парфенос Фидий (V в. до н.э.);

статуя Дорифора

Венера Милосская

скульптура “URANIA”

Греческий скульптор Леохар создал знаменитую статую Аполлона Бельведерского воплотившую представление древних греков о красоте.

В изящной форме амфор и кратеров, а также в их росписи легко уга­дываются пропорции золотого сечения.

Зодчие использова­ли «Божественную пропорцию» при возведении величественных гречес­ких храмов.

Храм Афины - Парфенон был построен в честь победы эллинов над персами. В фасаде Парфенона в Афинах (здание, является частью древнегреческого Акрополя (V в. до н.э.)) присутствуют пропорции золотого сечения: отношение высоты здания к его длине равно φ = 0,618… Там же при раскопках были обнаружены античные циркули с функцией установки «красивых» пропорций.

Затем последовали исследования Евклида, Гипсикла, постепенно эти знания распространились по всему миру.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПЕРИОД СРЕДНЕВЕКОВЬЯ

В эпоху средневековья дос­тижения античного искусства были преданы забвению. Ху­дожники этого времени не знали принципов построения фигур, которыми пользовались великие мастера древности. Безвозвратно погибли драгоценные ру­кописи, в которых содержались теория и матема­тические выкладки по композиции и рисунку ве­ликих мастеров. Многие прославленные произве­дения искусства, которые могли служить образца­ми, были уничтожены. Начиная со времен импера­торов Рима и до блистательной эпохи Возрожде­ния изобразительное искусство существовало в от­рыве от науки. За короткий срок были забыты тра­диции реализма, рисунок стал условным и схема­тичным. На миниатюрах XII в. мы видим изобра­жение человека с нарушением всех пропорций че­ловеческой фигуры. Герои рисунков имеют боль­шеголовые тела и огромные руки и ноги.

Из работ художников средневековья ясно видно полное отсутствие математической подготовки ав­торов. На рисунке изображен Генрих IV на троне. Тще­душная фигура никак не вяжется с правой рукой, локоть которой покоится на колене. (Попробуйте положить локоть на собственное колено, никак при этом не наклонившись!) Левая рука короля, под­держивающая державу, вообще спрятана, выгляды­вает только ладонь, почему-то находящаяся на уров­не правого локтя. На другом рисунке воспроизведена миниатюра, на ко­торой изображен папа Пасхалий II, вручающий Генриху V знаки королевского достоинства. Тут вообще непонятно, что случилось с правой рукой папы и левой - короля. Фигуры буквально висят в воздухе, а их головы находятся вровень с основаниями арки. Мы наглядно убеждаемся, что, потеряв знания о математических соразмерностях фигур, художники потеряли и изобразительную силу искусства. Что­бы возродить былые реалистические традиции, нужно было начинать все сначала. Это выпало на долю художников эпохи Возрождения.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ

В эпоху Возрождения интерес к явлению Золотого сечения усилился и, благодаря исследованиям Леонардо да Винчи и монаха Луки Пачоли, наука о правильных пропорциях стала одним из базовых знаний во всех сферах деятельности человека.

Леонардо Да Вини, изучая и анализируя опыт древнеегипетских и древнегреческих мастеров, на основе литературных сведений восстановил правила изображения человеческой фигуры, так называемый «квадрат древних». Он выполнил рисунок, в котором показана пропорциональная закономерность в соотношении частей тела человека.

По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли (1445 - 1509), был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Kнига была восторженным гимном золотой пропорции.

Леонардо Да Винчи использовал пропорции Золотого сечения во многих своих самых знаменитых произведениях, и в частности, в «Тайной вечере» и знаменитой «Джоконде». Исследователи картины «Джоконда» обнаружили, что композиционное построение картины основано на двух золотых треугольниках, повернутых друг к другу своими основаниями. Гармонический анализ картины показывает, что зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения. Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение.

«Мадонна в гроте» Леонардо до Винчи (1483-1486).

«Мадонна с младенцем» Джованни Беллини, 1470.

«Мадонна с младенцем» Карло Кривелли, 1485.

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари)

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И СОВРЕМЕННОСТЬ

Хорошо известная в эпоху возрождения Золотая пропорция вплоть до середины прошлого столетия была почти забыта, и уже в нынешнем веке вновь изучена рядом ученых и архитекторов. Особую роль среди них сыграл французский зодчий Ля Корбюзье, создавший так называемый модулятор - систему деления человеческой фигуры на согласованные в золотом сечении отрезки.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях, наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.

Цейзинг абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8 = 1,625, пропорции женского тела в отношении 8:5=1,6, у новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"
На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий.

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях, так как пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии и красоты.

Знаменитый русский архитектор М.Ф. Казаков широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Золотое сечение можно встретить в архитектуре здания бывшего сената в Кремле, Дворца в Петровском Алабине и Голицынской больницы в Москве, которая в настоящее время называется Первой Клинической больницей имени Н.И.Пирогова.

Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектора В.Баженова.

Одним из бесспорных шедевров русского зодчества является церковь Вознесения в Коломенском.

Яркий пример архитектуры барокко, Смольный собор в Санкт-Петербурге, производит неизгладимое впечатление. В его основных пропорциях так же усматривается Золотое сечение.

Итак, самым гармоничным соотношением является значение 1.618.

Подводя итог всему сказанному, можно сделать вывод, что весь окружающий мир, включая и растения, и животных, и человека, и здания, и дворцы, и храмы, и даже Вселенную построены по закону золотого сечения. Пропорции как бы ниспосланы нам небесами, поэтому их называют «божественными».