Решение тригонометрических уравнений ( для ДО) Повторение!!!

Тема: Решение тригонометрических уравнений (для ДО) Повторяем!

1. На данном занятии мы вспомним основные формулы для решения тригонометрических уравнений, частные случаи, основные методы решения и виды тригонометрических уравнений. Данная тема включена в экзаменационную работу.

Прежде чем перейти к разбору конкретных тригонометрических уравнений, вспомним основные формулы тригонометрии. Приведу их здесь в справочном виде.

(если этот справочный материал у вас есть, то можете не записывать его)

2. Запишите весь практический материал.

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются:

• сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул)
• введение новых переменных
• разложение на множители

Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул.

Решить уравнения:

а)

Решение: Нужно вынести минус за скобки, но т.к. cosх функция чётная, то минус «сгорает», значит:

Ответ:

б) Найти корни уравнения ( sinx + cosx ) ² = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку [0; 2 ].

Решение: При решении применяем формулу (а + в)²

Ответ:

в) 2 sin ² x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin ² x = 1 – cos ² x, получаем

Ответ:

г) cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos ² x – 1, получаем

Ответ: .

д) tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ: .

е) 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin ² x + cos ² x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ: .

ж) 1 + 7 cos ² x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin ² x + cos ² x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin ² x + cos ² x + 7cos ² x = 6sinxcosx sin ² x – 6sinxcosx+ 8cos ² x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin ² x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin ² x + cos ² x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos ² x. Получим

tg ² x – 6 tgx + 8 = 0 Обозначим tgx = y y ² – 6 y + 8 = 0 y₁ = 4; y₂ = 2 1 ) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k 2 ) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

з) .

Решение:

Ответ: .

и) sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ: .

к) sin2x – sinx = 2cosx – 1

Решение: Применим формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 2cosx – 1

sinx (2cosx – 1) = 2cosx – 1

sinx (2cosx – 1) – (2cosx – 1) = 0

(2cosx – 1) ( sinx –1) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ: .

3. Если остались вопросы по решению уравнений, рекомендую посмотреть видео-урок (у каждого будет личном кабинете) https://videouroki.net/video/35-reshenie-trigonometricheskih-uravnenij.html

4. Выполните тест: https://multiurok.ru/tests/46413/