Сангаку. Священная математика 2

Сангаку

Чертежи к теоремам вырезались на деревянных досках и красиво раскрашивались. Такие деревянные таблички получили название сангаку (или сан гаку, буквальный перевод: счётная или математическая дощечка).

Не все доски посвящены геометрическим задачам: на некоторых решались диофантовы уравнения или отыскивались объёмы криволинейных тел. На большинстве досок приводился только результат, а доказательство отсутствовало. Готовые доски вывешивались над входом в синтоистское святилище или буддистский храм в качестве приношения богам, а заодно – и вызова коллегам.

Структура сангаку почти всегда одинакова. После посвящения, справа налево следуют один за другим раскрашенные чертежи, под каждым из них условие задачи и ответ. Задачи предполагались вызовом: «Попробуй реши» – для своих учеников или коллег. Каждая табличка содержит от одной до 16 – 18 задач разной степени трудности, иногда, весьма трудных.

Задачи васан можно было найти не только в храмах. В эпоху Эдо 12 сборников задач сангаку было издано в печати, и сотни других задач остались в неопубликованных рукописях. Более того, авторы, вывешивавшие новые сангаку, безжалостно убирали задачи из более ранних коллекций. Ни об этих табличках, ни о книгах не следует думать, как о текстах в современном смысле; они никоим образом не составляют связного изложения васан. На отдельной сангаку задача, доступная 12-летнему ребёнку, может соседствовать с задачей, которая поставит в тупик выпускника университета. Частично, причина этого в том, что сангаку часто создавались группами людей с разными уровнями подготовки.

Круг основных идей японской храмовой геометрии довольно разнообразен и немного непривычен для геометра, воспитанного на традициях, теоремах и картинках западной геометрической школы, преимущественно унаследованной от древних греков. Первое бросающееся в глаза отличие – это повышенное внимание японских геометров к окружностям и эллипсам: как правило, ни одна табличка сангаку не обходится без задач об окружностях. Более того, количество окружностей в одной задаче может быть довольно велико, а иногда подразумеваться и бесконечным.

Хотя техника работы с окружностями не выходит за круг метрических теорем, не устаёшь удивляться наблюдательности и изощрённости создателей сангаку. В отличие от западной математики, в васан нет теорем о пересечении нескольких прямых в одной точке и не фигурируют другие коники, кроме эллипса. Возможно, это связано с тем, что в Японии эллипс мыслился не как сечение конуса, что привычно для западной геометрии, но как сечение цилиндра.

Многие из теорем сангаку по своим темам и стилю заметно отличаются от теорем, известных в геометрии Запада, а некоторые из них повторяют достижения европейской математики Нового времени. Японскими геометрами были открыты и доказаны многочисленные теоремы о цепях Штейнера, которые в европейской геометрии доказывались с помощью метода инверсии. Характерным было также использование пространственных образов при доказательстве планиметрических теорем. В частности, возможно, что в качестве аналога метода инверсии японские математики использовали стереографическую проекцию.

Вообще же метод открытия геометрических теорем, практиковавшийся японскими геометрами, основывался на интенсивной и продолжительной концентрации на рассматриваемом чертеже. Когда одного геометра спросили, как он получил свои замечательные теоремы об эллипсах, он ответил, что не размышлял ни над чем, кроме эллипсов, в течение последних десяти лет! Интересно, что когда японские геометры получили в свои руки китайский перевод «Начал» Евклида, они были очень сильно удивлены. «Зачем, – сказали они, – доказывать такие очевидные факты, когда есть ещё столько красивых и сложных геометрических теорем?»

Среди задач сангаку изредка встречаются арифметические задачи. Предполагалось решение этих задач с помощью соробана – японских счёт.

Соробан – японские счёты (абак). В дословном переводе с японского языка – «счётная доска». Происходит от китайского суаньпаня, завезённого в Японию в Средние века.

Интересно, что соробан сегодня переживает настоящее возрождение: не только по всей Японии, но и во всём мире открываются школы по обучению счёта на соробане. Соробан введён как общеобязательный предмет в младших классах японских школ наряду с чтением, письмом и каллиграфией. Соробан является самым быстрым в мире механическим счётным устройством и неотъемлемой частью японской культуры.

Следующая табличка посвящена единственной арифметической задаче:

На этой табличке изображён соробан с отложенным на его костяшках 47-значным числом

91946386013242550864788847270067565925602430721.

Задача состоит в вычислении на соробане корня 16 степени из этого числа. Ответ: 753. Поистине фантастически виртуозная техника вычислений!

В сангаку 1807 года приводится алгебраическая задача решения системы уравнений в целых числах

x – y = 61741,

y – z = 14197,

⁷√x + ⁷√y + ⁷√z = 12.

В табличке приведено решение

x = 5⁷ = 78125, y = 4⁷ = 16384, z = 3⁷ = 2187.

Кроме того, поставлена задача найти все решения этой системы при произвольных правых частях уравнений. Система сводится к уравнению 49-ой степени. Непростой задачей является уже получение этого уравнения.

В середине XVIII века население Эдо – будущего Токио – достигало 1 000 000 человек. Население Киото и Осаки составляло примерно по 400 000 человек. Наибольшее число дошедших до наших дней сангаку равно 880. Некоторые из задач еле заметны. Тот, кто не знает их достаточно хорошо, может ошибиться, глядя на плоскую деревянную дощечку. Число всех сангаку, созданных в период изоляции, составляет примерно 5000. Получается, что в среднем за 250 лет сакоку создавалось примерно 20 сангаку в год.

В течение более двух веков японские математики – профессионалы и любители, мужчины и женщины – создавали то, что по сути было такими покрытыми математикой витражами: деревянные таблички, украшенные прекрасными геометрическими задачами, являвшиеся одновременно и произведениями искусства, и религиозными дарами. Создатели сангаку вывешивали их десятками и сотнями в буддистских храмах и синтоистских святилищах по всей Японии, и по этой причине всё собрание задач сангаку стало известно, как храмовая геометрия, священная математика.

http://math4school.ru/sangaku.html