32.Корень n-й степени и его свойства

Тема: Корень n-й степени и его свойства (4ч)

Цель занятия:

1. Образовательные:

-дать определение корня n-ой степени;

-научить применять свойства корня n-ой степени при решении задач

1. Развивающие:

-развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;

-развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации;

1. Воспитательные:

-воспитание познавательного интереса к дисциплине.

Ход занятия

Сегодня на уроке мы познакомимся со следующими понятиями: корень n-ой степени, арифметический корень n-ой степени из числа, с решениями уравнений вида хⁿ=a.

Устная работа. Актуализация прежних знаний.

Выполнение заданий на вычисление квадрата числа.

Вычислите:

7²; 0,5²; 1,6²; (-17)²; 20².

Задание. Вместо x поставьте числа так, чтобы равенства были верными:

Определение. Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Аналогично определим корень n-ой степени. Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а.

Примеры:

Корень третьей степени из числа 27 равен 3, т.к. 3³=27.

Корень шестой степени из числа 64 равен 2 и (-2), т.к. 2⁶=64 и (-2)⁶=64.

Согласно данному определению, корень n-ой степени из числа а – это решение уравнения хⁿ=а. Число корней данного уравнения зависит от n и а.

Определение корня n-ой степени.

Радикалом (или знаком корня) называют знак , применяемый для обозначения операции извлечения корня n-ой степени из некоторого числа, корень n-ой степени из числа a обозначается . При n 2 показатель корня опускают и пишут вместо . Корень второй степени обычно называют квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем. При извлечении корня четной степени из неотрицательного числа а запись обозначает арифметический корень из числа а (т. е. такое неотрицательное число в, что =а).

При четном n существует два корня n-ой степени из любого положительного числа а; корень n-ой степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

При нечетных значениях n функция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел.

Применяя теорему о корне, находим, что уравнение, =а имеет один корень при любом а и, в частности, при а 0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают .

Итак, при нечетном n существует корень n-ой степени из любого числа а, и при том только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство: =- .

Степенью числа а 0 с рациональным показателем r= , где 𝑚- целое число, а n - натуральное (n ), называется число .

Разминка: Устный счет. Задаваемые вопросы студентам:

Вычислить:

1. 2³

2. 3²

3. 3³

4. 4²

5. 

6. 

7. 

Степенью называется выражение вида:  , где:

•  — основание степени;

•  — показатель степени.

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. По определению:  .

2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 

3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:  .

Возвести число в натуральную степень   — значит умножить число само на себя   раз:

Если показателем степени является целое положительное число:

, n 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение   не определено, в случае n ≤ 0. Если n 0, то 

Пример 1.

Если:

• a 0;

• n — натуральное число;

• m — целое число;

Тогда:

Свойства корня -ой степени.

Для любого натурального n, целого и любых неотрицательных чисел а и в выполнено равенство:

1)  =

2)  = (причем в

3)  = (k

4)  = (k

5) = ( (если k 0, то а 0)

ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ ЧИСЕЛ

Примеры

1)  Найдите значения выражений:

; ; .

По определению степени с рациональным показателем и свойствами корней, имеем:

= = 2, = = ( = = 27,

= =( = = = .

2)  Сравним числа : и .

= = = ;

= = = ,

Т. к. 625 729, то , значит .

Работа по группам

1. Выполнение упражнений № 381- 392 б), г) № 393 – 407 б), г)

2. Итоги занятия

3. Домашнее задание № № 381- 392 а), в) № 393 – 407 а), в)

4. По учебнику «Алгебра и начала анализа» 10-11клас. А.Н. Колмогоров стр. 201-206