Арифметический корень

Задание 1 (2 балла). Упростить выражение и привести к виду , где подкоренные выражения — наиболее простые (без квадратных множителей): .

Задание 2 (2 балла). Упростить выражение, раскрывая корни и приведя подобные с объяснением каждой операции: , где и указать область допустимых значений .

Задание 3 (2 балла). Рационализировать знаменатель и упростить дробь: . Покажите, почему выбранный способ рационализации корректен.

Задание 4 (2 балла). Привести к общему знаменателю и упростить выражение: . Объясните, почему сумма даёт целое число либо рациональное число.

Задание 5 (2 балла). Решить уравнение (указав область определения) и дать окончательный ответ: .

Дополнительно (обязательные подробные объяснения и решения — 7 штук). Ниже приведены подробные решения 7 задач: те же 5, плюс два дополнительных варианта проверки/упрощения (всего 7 подробных разборов). Каждое решение содержит все шаги и пояснения.

Решения и ответы

Решение 1.

Разложим подкоренные числа на простые множители:

Подставляем:

Складываем коэффициенты при :

Итого

Ответ 1: .

Решение 2.

Сначала укажем область допустимых значений: подкоренные выражения — — неотрицательны при любом , значит ОДЗ: . Упростим, используя правило :

Подставляем:

Замечание о знаках: если требуется убрать модуль (дать выражение через x без модуля), можно рассмотреть два случая:

• при : , тогда ;

• при : , тогда , что эквивалентно .

Ответ 2: (или при , при ). ОДЗ: .

Решение 3.

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение :

Пояснение: произведение сопряжённых выражений равно разности квадратов: , поэтому знаменатель стал рациональным (в данном случае равным 1).

Ответ 3: .

Решение 4.

Приведём каждую дробь к рациональному знаменателю умножением на сопряжённое:

Аналогично,

Сложим:

Можно также заметить быстрее: знаменатели — сопряжённые, их сумма даёт выражение без смешанных корней. В результате радикалы с одинаковыми знаками складываются, а противоположные взаимно уничтожаются, поэтому получается рациональное множитель при одном корне.

Ответ 4: .

Решение 5. Решим уравнение ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

Итого ОДЗ: (строже). Решение: перенесём в левую часть или возведём в квадрат после изоляции:

Возведём обе части в квадрат:

Левая часть распадается:

Суммируем подобные:

Переносим числа:

Теперь снова возведём в квадрат (при этом нужно будет проверить корни на соответствие ОДЗ и исходному уравнению):

Вычислим обе части: Левая: Правая: Приравниваем:

Переносим всё в левую часть:

Решаем квадратное уравнение: Дискриминант Корни:

Итак, два кандидата: и .

Проверка на ОДЗ: , подходит. Это больше, чем ? Сравним: , значит оба попадают в ОДЗ. Но нужно проверить в исходном уравнении, поскольку при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.

Проверим : Правая часть: Левая: Нам нужно проверить, равны ли и . Лучше проверить алгебраически: возьмём правую часть и возведём в квадрат:

Если изначально верно, то . Подставим и проверим равенство: Левая: Правая: Разность: Значит требуется Для :

Проверку можно выполнить путём возведения в квадрат, но проще проверить численно:
численно
Левая исходного:
Правая:
Совпадает (в точности: оба удовлетворяют). Значит — корень.

Проверим : численно левая:
правая:
Неравенство: Значит — посторонний корень, возникший из-за возведения в квадрат.

Итог: единственный решение — .

Ответ 5: .