Базовые понятия математики

Вызовы времени обусловили необходимость разработки и внедрения новых стандартов школьного образования. В ФГОС ставится основная педагогическая задача – создание и организация условий, инициирующих детское действие; уже в основной школе должны подготовить учащихся к осознанному и основанному на предметных знаниях выбору будущей образовательной траектории.

Справедливости ради следует признать, что необходимости «инициировать детское действие» учащихся 4–7 классов особо и нет; активность на уроках у учащихся постепенно падает в старших классах из-за неправильной трактовки учителями вопроса «Как учить».

«Детское действие» сохранится, если подбором вопросов методики преподавания нового материала учителю удается от класса к классу постоянно активизировать мыслительную деятельность учащихся, сохранить и развивать их веру в свои способности.

В 21 веке дети активно используют возможности получения информации через интернет, телевидение, телефоны. Их природная приверженность к движению, активности отбивает желание усидчиво получать информацию через учебники; тем самым заметно уменьшается роль учебника в школьном процессе математического образования. Учебник, скорее, становится ориентацией для учеников и учащихся на уровень типовых примеров и заданий. Считаем, учитель на уроках мог бы переформулировать основные определения, понятия в терминах пошаговых действий и алгоритмов.

Другой вывод из новых стандартов: от порядка «действовать и думать» следует переходить к форме «думать и действовать». Именно такой подход за школьной партой позволит молодым людям «осознанно» принимать решения, «основанные на предметных знаниях» в самых различных жизненных ситуациях. Если в старой методике было уместно, решая уравнение , возведением обеих частей в квадрат получить значения , и, затем проверкой отбросить «лишний корень» (принцип «действовать и думать»), то в духе новых стандартов сначала ученик, подумав, должен заметить, что не может быть корнем уравнения и, следовательно, уравнение эквивалентно системе (принцип «думать и действовать»).

В рамках новых стандартов обучения отпадают такие понятия, как «лишний корень», «потеря корней»; с целью оптимизации обучения полезно в школьном курсе математики не вводить понятие «арифметический корень». Отдельные позиции этой работы ранее рассмотрены нами в .

2. В основе изучения функции и лежит функция . Вот пример определения .

Чтобы понять, что такое :

1) узнай знак ;

2) если знак есть «+», то пиши ; если же знак « », то пиши .

После следует выполнить два упражнения:

1) доказать, что для любого ;

2) для любых :

Учащимся следует внушить мысль, что, когда знак не знаем, можно перебрать всевозможные знаки (всего два!) . Из второго упражнения получаются два следствия:

(1)

Мы рекомендуем доказать следующую теорему и в математическом кабинете иметь плакат с ее содержанием.

Теорема 1. Пусть . Тогда

1 )

2) ⇔

3)

После доказательства следует отдельно рассмотреть случаи неравенства вида демонстрировать возможности использования теоремы на примерах решения неравенств вида:

.

Возможности применения равенства (1):

1) Неравенства вида можно решить не только «снятием» модуля, но и его «одеванием»: .

2) Уравнения вида легче решить возведением обоих частей равенства в квадрат: .

С целью активизирования мыслительной деятельности учащихся предложить им устные примеры на решение уравнений типа:

.

Другие примеры см. в [2], с.295-296, №№131(б, г),134.

3. Рассмотрим теперь вариант введения функции . Начинаем с определения. Чтобы вычислить найди такое число , что:

1) число - неотрицательное,

2) . Таким образом,

Следствия из определения.

1⁰. Из (3) следует, что .

2⁰. Из (2) следует, что .

3⁰. Из (3) следует, что .

В 3⁰ надо подчеркнуть, что : . Следовательно, у функции как область допустимых значений, так и область изменения есть множество всех неотрицательных чисел.

В КИМах ЕГЭ прошлых лет были предложены задания (в качестве С1) вида: и учащиеся теряли 1 балл из двух, когда забывали о том, что или .

Полезно сравнить следствие 3⁰ с равенствами (2) и предложить детям упростить выражение .

В контексте новых стандартов следует не просто дать детям формулу , а предложить с виду длинное правило.

Чтобы упростить выражение :

1) пытайся узнать знак ;

2) узнал – радуйся:

если «+», то ,

если «–», то ;

3) не узнал – безрадостно пиши .

Приведем список рекомендуемых заданий:

А. Задание №47 и др.

Б. Задания типа В из КИМов ЕГЭ прошлых лет:

C. Задания типа С1. Решить уравнения

а)

б)

в)

г)

Указания. Уравнение а) равносильно системе

Уравнение г) равносильно уравнению

4. Следующее базовое понятие − правило возведения обеих частей в квадрат или извлечения корней четных порядков. Установить его можно, используя свойство монотонности функций ; или непосредственной проверкой. Рекомендуем иметь в кабинете плакат.

Правило 1.

Правило 2.

И предложить детям правило: если хочешь возводить обе части (уравнения или неравенства) в квадрат или извлечь квадратный корень, то сначала проверь условие неотрицательности двух частей. Если условие не выполняется, то нельзя возводить в квадрат, нельзя извлечь квадратный корень.

Указания. Если «условие» не выполняется, то либо надо обе части умножить на -1, либо применить правило сравнения знаков двух частей.

Считаем также необходимым иметь в кабинете таблицу типовых примеров и их решения.

Многоточия в таблице заменяют решения заданий. В первых трех столбцах «условие» выполняется. Например, . Знак не знаем, следовательно, . Применяем 2) из теоремы 1: . Если , то . Если же то .

В трех последних столбцах «условие» не выполняется. Их разбираем сравнением знаков двух частей, причем во второй строке надо помнить об О.Д.З. Например

Более сложные задания сводятся к типовым. Например, для неравенства «условие» выполняется. Оно эквивалентно неравенству . Или № 150 (б) из с.297: .

Пример соответствует последней клетке типовой таблицы. Имеем .

Очевидно, уравнения равносильны, соответственно системам

Можно теперь предложить учащимся доказать теорему 1, используя метод возведения обеих частей в квадрат равенства (1). Например,

Иррациональные неравенства и

равносильны, соответственно, совокупности и системе

По свидетельству [5], около 52,5 не справились с заданием типа В вида:

зная, что и , найти .

Предлагаем, в соответствии с изложенным выше, следующую цепочку рассуждений: Так как в четвертой четверти то Следовательно, .

Ответ.

5. Правило умножения или деления обеих частей на выражения. Считаем, дети должны уметь пользоваться тремя тезисами:

Тезис 1. Если в обеих частях равенства или неравенства имеется одинаковое выражение, то обе части надо разделить на него, при этом:

Тезис 2. Надо отдельно рассмотреть случай, когда выражение может равняться нулю – на нуль делить нельзя!

Тезис 3. В неравенствах надо знать знак выражения – знак не знаешь – нельзя ни делить, ни умножать.

Рассмотрим примеры.

1. Решить уравнение (задание типа С1 из КИМов ЕГЭ).

.

Решение. Так как уравнение имеет корни 1 и 11, то и исходное уравнение принимает вид

1случай. подходит.

2 случай. Делим обе части на : . Пусть Тогда не подходит, . Значит, .

Ответ. .

2. Решить неравенство:

Решение. Знак не знаем – умножать обе части на нельзя. Решение обычно сводят к методу интервалов:

Но, можно, зная, что обе части умножить на .

Еще лучше решить неравенство перебором знаков . Если , то подходит.

Если , то умножаем на обе части на

Ответ.

3. Решить неравенство:

Решение. Умножаем обе части на

Ответ.

Другие примеры: №144 г), №135, №150 г), №151 г). .

Рассмотрим №135 г).

Решить неравенство: .

Решение. .

1случай. подходит.

2 случай. . Делим обе части на Получится

Ответ. .

В заключение разберем задания С3 и С5 из КИМов 2013 г., где по ходу решения используются рассмотренные базовые понятия.

Задание С3 (2013г.). Решить систему неравенств:

Решение. 1) Решаем первое неравенство системы. Находим О.Д.З.

Р ешение системы изобразим схематически

-7 2 3

Так как то неравенство принимает вид ⇔ ⇔ .

2) Решаем второе неравенство на множестве .

Здесь Умножаем обе части неравенства на . После элементарных преобразований получим

1случай. подходит.

2 случай. Делим обе части на : . Корни соответ-

ствующего уравнения .

Так как уравнение решаем на то или .

Ответ. .

Задание С5 (2013г.). Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Обычно такие задачи решают графическим способом. В работе показано, что задание можно выполнить путем сведения уравнения к равносильной системе

Не будем повторять дальнейшие выкладки из , где рассматриваетcя другой подобный пример.

Литература

1. Алгебра и начала математического анализа, 10-11 кл., под ред. А.Н. Колмогорова, М.: Просвещение, 2012г.

1. КИМы ЕГЭ по математике, 2007-2009 гг.

2. КИМы ЕГЭ по математике, 2013, №104.

3. Новым стандартам нестандартный подход. Методические рекомендации / Сост. Лазарева Л.А. – М.: УЦ «Перспектива», 2012. – 36с.

4. Ященко И.В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике 2012г.

5. Умаханов А.Я. Анализ решений задач с параметром из КИМ ЕГЭ по математике, Научно-методический журнал «Модернизация образования», №3/2013, с.88-90, Махачкала, ДИПКПК.

6. Эфендиев Э.И., Загиров Н.Ш., Насруллаев Н.Б. Принцип однозначности функции и одно его следствие, Научно-методический журнал «Модернизация образования», №1/2011, с.36-40, Махачкала, ДИПКПК.