История изучения первообразной

Истории изучения первообразной и интеграла.

Выполнила: Ходыко Мария

Студентка 1 курса ГАУ КО ПОО КСТ

Понятие интеграла-

Возникло из потребности вычислять площади любых фигур и поверхности и объемы произвольных тел.

  Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учеными предвосхищена гораздо в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

История возникновения

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур, когда задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово «quadratura» переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в Античнoe время не были развиты представления о действительных числах, поэтому математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами. Тогда задачи на нахождение площадей формулировались, как задача «о квадратуре круга»: построить квадрат, равновеликий данному кругу. Ученым, предвидевшим понятие интеграла, был древнегреческий учёный Евдокс Книдский, живший примерно в 408-355 годах до нашей эры.  Он дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды, теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. Для доказательства он применил метод «исчерпывания», который нашёл своё использование в трудах его последователей.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли .

Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. - ок. 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э.

Е. Книдский

Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. 

Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. - 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.

Аналогичные методы были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 - ок. 280), который с их помощью находил площадь круга. Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский математик, астроном, механик, писатель Цзу Чунчжи (429 - 500) вместе со своим сыном, также математиком и астрономом, Цзу Гэном.

Архимед

Цзу Чунчжи

Лю Хуэйм

Я. Бернулли придумал слово «интеграл» (1690) и ввёл название новой ветви математики — интегральное исчисление..Впервые в печати употребил термин « интеграл » в 1696 году. Вероятно, слово происходит от латинского «integro», которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

Л. Эйлер систематизировал приёмы вычисления неопределённых интегралов, разработал новые, а также существенно развил теорию определённых интегралов. Он назвал интеграл с произвольной постоянной — полным, с фиксированной постоянной — частным.

Ж.Лагранж  ввёл название «первообразная функция» (1797), которое заменило более раннее «примитивная функция».

О. Коши  в начале XIX века перестроил раздел интегрального исчисления на основе теории пределов.

Л. Эйлер

О. Коши

Я. Бернулли

Ж. Лагранж

Главные Основатели:

Ньютон и Лейбниц  — основатели интегрального исчисления. Ньютон трактовал определённый интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции, а Лейбниц считал, что определённый интеграл — это сумма всех бесконечно малых дифференциалов. Учёные открыли формулу, которая носит их имя — формулу Ньютона — Лейбница. Таким образом,  Ньютон и Лейбниц  внесли значительный вклад в создание основ интегрального исчисления.

Бернулли  дал название и термин для новой ветви математики,  Эйлер  развил теорию интегрирования, а  Лагранж  ввёл термин, который сейчас используется для обозначения первообразной функции. 

Ньютон

Лейбниц

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме.

Применение интегралов на практике:

Основной задачей дифференциального исчисления является определение для заданной функции F(x) ее  производной  

F′(x)=f(x) или ее дифференциала F′(x)dx=f(x)dx.

Обратная задача, состоящая в определении функции F(x) по ее известным производной f(x) или  дифференциалу  f(x)dx

представляет собой основную задачу интегрального исчисления .

Использованные источники:

1 . https://ru.wikipedia.org/wiki/Интеграл

2 . https://multiurok.ru/files/istoriia-izucheniia-pervoobraznoi.html

3. https://stihi.ru/2022/01/24/4052

4 .https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_9_0.php

5 .https://yandex.ru/images/search?from=tabbar&text=история%20изучения%20первообразной

Спасибо за внимание!