Презентация "Комплексные числа и действия над ними"

Комплексные числа и действия над ними

Преподаватель СП ГБПОУ ОМЛ

Зудина Н.М.

Толковый словарь русского языка С.И.Ожегова:

• комплЕксные (кОмплексные) числа (спец)

Карл Фридрих Гаусс

1777-1855

решения нет в R

• Определение: Корень уравнения x 2 = -1 называется мнимой единицей и обозначается буквой i.
• i- мнимая единица
• i 2 = -1
• x 2 = i 2
• x = i

Определение: Комплексным числом называется сумма вида z=a +bi , где a – действительная часть, bi – мнимая часть.

• алгебраическая форма

действительная часть

мнимая часть

a и b – действительные числа

z=a +bi

определение

• Два комплексных числа называются равными , если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей, т.е.
• a 1 +b 1 i=a 2 +b 2 i  a 1 =a 2 и b 1 =b 2

Действия над комплексными числами в алгебраической форме:

• Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример :  Даны комплексные числа z 1  = 2 + 3i, z 2  = 5 – 7i 

найти

ответ

• а)z 1 + z 2
• б)z 1 – z 2
• в) z 1· z 2

• 7 – 4i
• –  3 + 10i
• 31 + i

(a ± b) 2  = a 2  ± 2ab + b 2 , (a ± b) 3  = a 3  ± 3a 2 b + 3ab 2  ± b 3

Выполнить действия:

Ответы:

• а) (2 + 3 i ) 2
• б) (3 – 5 i ) 2
• в) (5 + 3 i ) 3 .

• –  5 + 12i
• –  16 – 30i
• –  10 + 198i

(a + b)(a – b) = a 2  – b 2

Выполнить действия:

Ответ:

• а) (5 + 3 i )(5 – 3 i )  
• б) (2 + 5 i )(2 – 5 i )
• в) (1 +  i )(1 –  i )

• 34
• 29
• 2

определение

• Два комплексных числа называются  сопряженными , если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Пример .  Выполнить деление:

Пример. Решите уравнение:

• а)  x 2  – 6 x  + 13 = 0; 
•   
• б) 9 x 2  + 12 x  + 29 = 0.

Исходя из условия i 2 = -1

вычислить:

Ответы:

• а) i 3
• б) i 5
• в) i 22

• -i
• i
• -1

Контроль выполните действия:

1 вариант

2 вариант

• 1) (3 + 5 i ) + (7 – 2 i )
• 2) (6 + 4 i )(5 - 2 i )
• 3) (3 + 2 i )(3 – 2 i )

• 1) (6 + 2i) + (5 + 3i)
• 2) (2 + 3i)(5 – 7i)
• 3) (5 + i)(5 – i)

контроль

1 вариант

2 вариант

• 1) 10+3i
• 2) 38+8i
• 3) 13

• 1) 11+5i
• 2) 31+i
• 3) 26