Математика. Уравнения и неравенства с параметрами + примеры с решениями

  Если в выражении с двумя неизвестными F(x,a) = 0 (или F(x,a) > 0 ) переменной a придавать какое-либо фиксированное значение, то это уравнение (или неравенство) можно рассматривать как задачу с одной переменной x .

Множеством решения такой задачи является множество пар чисел x,a , при подстановке которых в исходное выражение получается верное равенство (или верное неравенство).

Аргументы x и a считаются неравноправными, так как при решении задач обычно стараются найти x , выраженное через a . Далее необходимо выяснить зависимость решений от значений параметра a , что является важной частью решения задачи. Иногда ее называют исследованием и отделяют от непосредственного решения.

  Трудности решений уравнений и неравенств с параметрами вызваны, прежде   всего, тем, что в любом случае приходится производить ветвление всех  значений параметра на отдельные классы, при каждом из которых уравнение или неравенство имеет решение.

При этом необходимо последовательно следить за равносильностью решаемых уравнений (неравенств) с учётом области определения входящих в них выражений и учитывать выполнение отдельных операций.

Необходимо знать алгоритмы решения всех типов уравнений и неравенств.

      Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.