Методическая разработка

4) Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или не дифференцируема, называют ……………………….. точками этой функции.

5) Пусть функция f(х) дифференцируема на некотором интервале и в точке х₀ из этого интервала имеет производную равную нулю, тогда: если при переходе через стационарную точку х₀  функции f(х) её производная меняет знак с «- » на «+», то х₀ - точка ………………………………...

6) Чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке [а;b] функции, и имеющей несколько критических точек на этом отрезке, нужно вычислить значение функции …………………………………………………………, а затем из полученных значений выбрать наибольшее.

Ответы:

2. Понимание (учебные вопросы).

Фронтальная беседа по вопросам темы

- Выполняя тест, вы вспомнили основные понятия темы, а теперь побеседуем с вами по следующим вопросам:

1) В чем заключается геометрический смысл производной?

2) В чем заключается физический смысл производной?

3) Что можно сказать о производной в точке экстремума?

4) Приведите пример функции, не имеющей критических точек? (линейная, обратная пропорциональность, показательная, логарифмическая)

5) Приведите пример такой функции, у которой стационарная точка не является точкой экстремума. (y = )

6) Приведите пример такой функции, которая имеет экстремум в точке, где эта функция не имеет производной (y =⃓ х , y =⃓ ⃓)

3.Применение (проблемные вопросы)

Сопоставить:

неправильно

4.Анализ (проблемные вопросы)

Оформите результаты в виде … «Найди меня» Работа в парах: сопоставить функцию и производную.

Установите соответствие:

1в,2а,3д,4с,5е

5.Синтез (основополагающие вопросы)

«Алгоритмизация»

Скажите, что это за алгоритм? Как связан этот этап с темой нашего урока?

(По тексту алгоритма учащиеся должны определить, алгоритм какой задачи представлен)

1.Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y=f (x)

1. Обозначить абсциссу точки касания

2. Вычислить f ( )

3. Найти f' (x) и вычислить f'( )

4. Подставить найденные значения , f'( ) в формулу y= f ( )+ f'( )(x- )

2.Алгоритм исследования непрерывной функции y=f (x) на монотонность и экстремумы

1. Найти производную функции y=f' (x)

1. Найти стационарные точки (f' (x)=0) и критические (f' (x) не существует) точки функции y=f (x)

3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках

4. На основании теорем 1, 2 и 3 сделать вывод о монотонности функции и о ее точках экстремума

3.Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f (x) на отрезке

1. Найти производную функции y=f' (x)

2. Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие отрезку

3. Вычислить значения функции y=f (x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и в; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет ) )

6.Оценка (основополагающие вопросы)

Выполнение заданий на исследование функций по графикам

(из открытого банка заданий ЕГЭ (задание 7)

Работа в парах, задания, учащиеся выполняют по карточкам, фронтальная проверка – на слайдах.

1. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции f (х)=0 в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5. Ответ: 5.

2.На рисунке изображён график y=f' (x)- производной функции f (x), определённой на интервале (-6;5) . В какой точке отрезка функция f (x) принимает наибольшее значение?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции. На отрезке производная функции f(x) положительна.

Значит, функция f(x) возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение f(x). Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрез ка, то есть в точке 3. Ответ: 3.

3 На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (-7;14) Найдите количество точек максимума функции f (x), на отрезке .

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это х=7.

Ответ: 1.

Итог урока:

Заполнение листа самоконтроля

.

«Теория без практики мертва или бесплодна.

Практика без теории невозможна или пагубна.

Для теории нужны знания, для практики — умения»

А.Н. Крылов

Алексей Николаевич Русский и советский математик, механик и кораблестроитель; академик Петербургской АН / АН СССР; профессор Морской академии; генерал флота

2 м/м

1.Организационный этап: проверка готовности к уроку.

2. Нам всем кажется, что в повседневной жизни мы великолепно обходимся без математики. Не правда, ли? Но это совсем не так. Сегодня на уроке мы убедимся в этом.

Начинаем деловую игру по теме «Производная и её практическое применение». Сегодня Ваш класс – научно-расчётный центр. Вы сотрудники этого центра. Центр имеет 5отделов: отдел транспорта, отдел архитектуры, отдел экономики, поисковый отдел и отдел экономической теории. Вам предстоит защитить теоретические знания по теме «Производная», показать умения и навыки применять теоретические знания к решению практических задач.

В научно-расчётный центр пришли письма от различных организаций, которые хотят получить ответы и расчёты на интересующие их вопросы. Вы должны дать полные, обоснованные ответы и расчёты, которые потом будут отправлены заказчикам. Выступающим можно задавать вопросы по теме, помогать искать наилучшие варианты ответов.

Работа в группах.

Сейчас я раздам письма, которые Вы проработаете в своем отделе, после чего представитель от каждого отдела у доски даст расчёты и ответы на вопросы в письмах.

1. Отдел транспорта.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

На трассе Шахтерск-Донецк произошла авария. Для выяснения степени виновности водителя нам необходимо знать:

а) в течении какого времени осуществлялось торможение до полной остановки машины?

б) сколько метров двигалась машина с начала торможения?

в) чему равно ускорение в любой момент времени?

Нами установлено, что тормозной путь определяется по формуле: S (t) =120t-10t³, где t (c), S (м)

С уважением сотрудники транспортной полиции г. Шахтерска.

2. Отдел архитектуры.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

Строительная фирма г. Донецка просит Вас помочь в решении следующей проблемы. Нам необходимо срочно восстановить мост через реку Крынка. Мост имеет форму параболы у(х) = рх². Каким надо сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на шоссе был плавным? Пролет моста имеет длину L=20 м., стрела провеса f=0,5 м. Предлагаем чертёж нашей работы:

Х

О

f=0,5 м

α

Заранее Вам благодарны.

3.Отдел экономики.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

В г. Шахтерске планируют открыть зоомагазин, в котором хотят поставить аквариумы, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда, для содержания в них рыб, змей, мышей, хомяков, свинок, ящериц. На завод по изготовлению стеклянной тары обратились с просьбой изготовить несколько аквариумов с квадратным дном объёмом 500 л. С целью экономии стекла, просим Вас рассчитать при какой стороне основания площадь поверхности аквариума (без крышки) будет наименьшей?

С уважением сотрудники завода по изготовлению стеклянной тары.

4.Отдел поиска.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

К вам обращается София Маланчук, выпускница гимназии, ныне студентка МФТИ

Исследователи поверхности суши и подводного пространства океана запустили ракету, которая перемещалась по закону у(х) =3х-х³. Чтобы сделать необходимые выводы, нам надо знать:

а) траекторию движения ракеты;

б) где ракета летит под водой;

в) где ракета летит над водой;

г) в какой точке ракета достигает максимальной высоты и чему она равна;

д) в какой точке ракета погружается на максимальную глубину и чему она равна;

е) в каких точках ракета входит и выходит из воды.

В нашей просьбе просим не отказать.

5.Отдел экономической теории.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

Амвросиевский цементный завод по договору должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

При каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=-х³+98х²+200х. Удельные затраты составляют .

С уважением сотрудники цементного завода.

5. Защита учащимися у доски своих ответов и расчётов.

Отдел транспорта (задача 1)

Ответ:

Воспользуемся механическим смыслом производной: производная от координаты по времени есть скорость, то есть S'(t)= V(t)=(120t-10t³)' = 120-30t².

Так как машина остановилась, то V(t)=0. Имеем:

120-30t² =0; t=±2 (с). t=-2 не удовлетворяет условию задачи, значит в течении 2 секунд осуществлялось торможение до полной остановки машины.

Найдём путь, пройденный машиной за 2 с.:

S (t) = 120t - 10t³; S (2) =120·2-10·2³ =160 (м), значит с начала торможения машина двигалась 160 м.

Производная от скорости по времени есть ускорение, значит:

a(t)=(120-30t²)'= - 60·t; a(2)=-60·2=-120(м/с²)

Ответ: а) 2 мин; б) 160 м; в) -120(м/с²)

Отдел архитектуры (задача 2)

Ответ:

Направление подхода к мосту должно совпадать с направлением касательной в конце моста. Нам необходимо найти угловой коэффициент касательной к графику функции у(х) = рх² в точке (10;0,5).

Парабола проходит через эту точку, значит, её координаты удовлетворяют уравнению у(х) = рх², то есть 0,5=р10², откуда р = 0,005.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции y=f(x) в точке х=х₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х₀, то есть f '(x₀)=k=tg α.

Имеем: у'(х) = (рх²)'=(0,005х²)'=0,01х

у'(10)=0,01*10=0,1

k=tg α=0,1

α = arctg 0,1-угол уклона насыпи

Отдел экономики (задача 3)

Пусть сторона квадрата основания будет х дм. х€(0;+∞)

V=x²h, следовательно h=

S_акв =S_б+S_{осн =} 4xh+x² = +x²

Если аквариум вмещает 500 л воды, то объём равен 500 дм³.

S_пол = +x² = +x², S'= 2х- = = ; S'=0 при

х³-1000=0; х=10

На промежутке (0;+∞) критических точек нет, а стационарная только одна при х=10.

Заметим, что при хS'10, S' 0. Значит, х=10 – точка минимума на заданном промежутке, а поэтому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Следовательно, сторона квадрата, служащего основанием аквариума, равна 10 дм. Ответ: 10 дм.

Отдел поиска (задача 4)

Ответ:

Нас просят найти траекторию движения ракеты. Для этого надо построить график функции у (х) =3х-х³.

Проведём исследование данной функции:

1. D (у) = R, так как у - многочлен.

2. Найдём точки пересечения графика с осями координат:

с осью ОУ: х=0, у=0 (0;0)

с осью ОХ: у=0, х=0 или х = ± (0;0), ( ;0), (- ;0)

1. у' (х) = (3х-х³)'=3-3х

2. у' (х) =0; х= ±1

3. - + -

-1 1 х

воздуха

вода

Отдел экономической теории (задача 5)

Ответ:

К(х)= -х³+98х²+200х. Удельные затраты составят , т.е. = -х²+98х+200;

Обозначим = У(х)

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У(х) = -х²+98х+200. На промежутке [20;90].

У'(х) = -2х+98; У'(х)=0 при -2х+98=0; х=49 - критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

У (20)=1760 У (49)=2601-max У (90)=920- min

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности.

6. Рефлексия (подведение итогов занятия). Выставление отметок.

7. Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по изученному материалу.

Сегодня мы выяснили, зачем нужно изучать производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни

Н.И. Лобачевский сказал: «… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…».

Российский математик, один из создателей неевклидовой геометрии

3 м/м

1. Организационный этап: проверка готовности к уроку.

2. «Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

В ходе урока вы должны либо подтвердить, либо опровергнуть данную гипотезу. Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук.

А сейчас мы рассмотрим работы творческих групп, которые провели самостоятельные исследования по предложенным темам. Еще раз убедимся в важности роли производной в исследовании процессов окружающего мира, покажем практическую необходимость и теоретическую значимость темы «Применение производной функции».

(Выступление творческих групп с самостоятельными проектами: «Связь производной с физикой» ….. (показ презентации с объяснениями и примерами)

План работы лаборатории дифференциальных исчислений 11-В класса:

Рабочее совещание

Решение прикладных, проблемных задач

Творческий поиск (самостоятельное исследование)

Подведение итогов работы

Производная в физике

Задача 1:

Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

Решение: I(t) = q ‘ (t); I(t)=1-4/t²; 1-4/t²=0. Отсюда, t=2 или t= -2.

t= -2 не подходит по условию задачи

Ответ: t = 2.

Производная в химии.

Задача 2

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t²/2 + 3t –3 (моль).
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение: v(t)=p‘(t); v(t)=t+3; v(3)=3+3=6

Ответ: 6 моль/с

Медицинская задача.

Задача 3

Реакция организма на введенное лекарство выражается повышением кровяного давления, уменьшением температуры тела, изменением пульса и других физических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Предположим, что х – доза лекарства, а степень реакции у описывается функцией у=R(x)=x²(a-x), где а – некоторое положительное постоянное число. При каком значении х реакция максимальна?

Решение R(x)=x²(a-x)=ax² –x³

D(x)=R

R’(x)=2ax-3x²

2ax-3x²=0

x=0

x=

Ответ: при х= уровень дозы, который дает максимальную реакцию организма на введенное лекарство.

Производная в биологии. В биологии часто приходиться решать такие задачи

Задача 4

Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает p/(t) особей; p/(t)=3000+100t². Найти скорость роста популяции:
а) в произвольный момент t,
б) в момент t = 1 c.

Решение: Z(t) = p'/(t)=200t; Z(1)=200(особей/c)

Ответ: 200(особей/c)

Производная в географии

Задача 5

Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Решение: Пусть y=y(t)-численность населения, тогда прирост населения за Δt=t-to Δy=kyΔt , где k= - -коэффициент рождаемости, - коэффициент смертности) =ky при Δt→0. Получим lim =y' , т.е. y' = ky

При решении географической задачи получилось дифференциальное уравнение первого порядка. Обращается внимание учащихся на то, что пока их знаний недостаточно для его решения и предлагается вернуться к уравнению при изучении темы: «Дифференциальные уравнения».

Производная в экономике

Задача 6

Объем продукции V, произведенный бригадой рабочих, задается уравнением

1 ≤ t ≤ 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение: Производительность труда выражается формулой

П (t) = V ‘ (t), П(t) = (ед./ч).

В заданные моменты времени t₁=1 и t₂ = 8-1 = 7 имеем:
П(1) = 112,5 (ед.ч) и П(7) = 82,5 (ед.ч).
Итак, к концу рабочего дня производительность существенно снижается.

Результат (продукт) – это папка по теме «Применение производной».

Только, что мы доказали актуальность данной темы

Физ. минутка для глаз (30-40 секунд)

Положите руки на стол, сядьте прямо.

2.Закройте глаза, очень сильно зажмурьтесь, откройте глаза. Проделайте это упражнение сами 6 раз.

3.Голову держите прямо, глаза поднимите вверх, опустите вниз, посмотрите влево, посмотрите вправо. Выполните это упражнение 6 раз.

4.Голову откиньте назад, опустите вперёд так, чтобы подбородок упёрся в грудь. Проделайте это упражнение 6 раз. Итог урока:

VII. Этап информации о домашнем задании.

IX. Рефлексия.

С помощью производной можно находить:

• скорость, ускорение;

• исследовать функции на монотонность и экстремумы и строить их графики;

• находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

• решать задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин;

• находить уравнение касательной к графику функции.

• Инженеры и технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

• Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей,

• Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными

Лирическое окончание урока

(Еще Софья Ковалевская говорила : “Математик должен быть поэтом в душе”.

Приведу стихотворение (из учительского фольклора) о производной

Я беру производную – каково удивление

Мир меняется весь.

Вижу скорость его изменения.

Мир из хаоса вдруг

Превращается в схемы.

У гармонии тоже есть свои теоремы.

Жизнь человека, словно синусоида:

То вверх летишь, то падаешь вниз,

Когда настанет максимум и минимум,

Когда исчертишь ты последний лист?

А мудрецы свой график исправляли,

Чтоб приближался он к стремительной прямой,

Чтобы как птицы от нуля взлетали

Без перегибов мысли над землей.

Математика создала идеального человека. Но у каждого из нас свои мысли, своя воля, свой мир. Я желаю научиться управлять этим миром. Пусть ваша производная всегда будет в экстремуме.

Изображение, созданное Леонардо да Винчи примерно в 1490-1492 годах как иллюстрация для книги, посвящённой трудам античного римского архитектора Витрувия, и помещённый в одном из его дневников. На нём изображена фигура обнажённого мужчины в двух наложенных одна на другую позициях: с разведёнными в стороны руками и ногами, вписанная в окружность; с разведёнными руками и сведёнными вместе ногами, вписанная в квадрат.

1. Найдите производные указанных функций (если будет допущена ошибка, постарайтесь ее корректно исправить):

.

4 Математическая пауза

Разгадать ребусы:

1) Производная 2) График

3) Функция

Память человека способна сохранить до 90% из того, что человек делает, 50%

– из того, что он видит, и 10% – из того, что он слышит.

Вопросы к кроссворду:

1) Предельное положение секущей? (касательная)

2) Как называется изменение величин? (приращение)

3) Как называется переменная х? (аргумент)

4) Процесс нахождения производной? (дифференцирование)

5) Предел приращения функции к приращению аргумента, при последнем стремящемся к нулю? (производная)

6) График такой функции можно начертить на бумаге не отрывая руки? (непрерывная)

7) Композиция функций? (сложная)