Методы доказательства тождеств

Методы доказательства тождеств

Факультатив «Алгебра учит рассуждать», 7 класс

1

Цель

Уяснить сущность тождественных преобразований как особого способа доказательства в алгебре.

• Повторить понятие тождества;
• Рассмотреть методы доказательства тождеств;
• Закрепить полученные знания при решении заданий.

Задачи

Тождества

1

Определение

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

1

Примеры

1

«Цепочка» Являются ли выражения тождествами?

• 77 + x = x + 77
• a – b = b – a
• -5(-y) = 5y
• =

Да

Нет

Да

Нет

1

«Цепочка» Являются ли выражения тождествами?

• а – b = a + (-b)
• a(b + c) = ab – ac
• (x – y)(x + y) = –
• a⸳0 = a

Да

Нет

Да

Нет

1

«Цепочка» Являются ли выражения тождествами?

• а(bc) = (ab)c
• 2x – 3 = 2(x – 3)
• = 2xy +
• a⸳1 = 1

Да

Нет

Да

Нет

1

Методы доказательства тождеств

Пусть нужно доказать тождество А = В, где А и В – некоторые выражения.

• Доказать, что А – В = 0 , т. е. достаточно составить разность между левой и правой частями данного равенства и показать, что она равна нулю.

1

Методы доказательства тождеств

1

Методы доказательства тождеств

1

Методы доказательства тождеств

• Преобразовать левую часть равенства до получения правой части или наоборот.

Например, , следовательно,

1

Методы доказательства тождеств

Пример 2. Докажите тождество:

1

Методы доказательства тождеств

Доказательство.

Преобразуем левую часть равенства до получения правой:

1

Методы доказательства тождеств

3. Преобразовать независимо друг от друга обе части равенства так, чтобы получить одно и то же выражение :

, если , то

1

Методы доказательства тождеств

Пример 3. Докажите тождество:

1

Методы доказательства тождеств

Доказательство.

Преобразуем независимо друг от друга левую и правую часть равенства:

Левая часть равенства:

Правая часть равенства:

1

Методы доказательства тождеств

1. Доказать, что А – В = 0 ;

2. Преобразовать левую часть равенства до получения правой части или наоборот;

3. Преобразовать независимо друг от друга обе части равенства так, чтобы получить одно и то же выражение.

1

Олимпиадное задание

Докажите, что при любых значениях a, x и y верно равенство

1

Олимпиадное задание

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства

1

Рефлексия

1

«Свободный микрофон»

1. На факультативе я работал(а) …

2. Факультатив для меня показался …

3. Самым полезным и интересным для меня было …

4. Я встретился(лась) с трудностью при …

5. У меня хорошо получилось …

6. Я выполнял(а) задания …

1

«Свободный микрофон»

7. Я понял(а), что …

8. Теперь я могу …

9. Я попробую …

10. Меня удивило …

11. Мне было трудно …

1

Спасибо

1