Просмотр содержимого документа
«Неравенства с модулем»
4 |x 2 – 9| |x 2 – 3x + 2| + |2x + 1| |x 2 – 5x + 9| " width="640"
|х + 5| 4
|x 2 – 9|
|x 2 – 3x + 2| + |2x + 1|
|x 2 – 5x + 9|
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
|a|
|a|
0
x
– a
a
Способ 1. Геометрический смысл модуля.
Пример 1. Решить неравенство |х – 3|
Решение.
4 ед.
4 ед.
0
– 1
7
x
3
– 1
Ответ: ( – 1; 7) .
Способ 2 . Графическое решение.
Решение.
1
0
4
1
2
Способ 3 . Возведение в квадрат.
Пример 3. Решить неравенство |x 2 – 1|
Решение.
(|x 2 – 1|) 2
(x 2 – 1) 2
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)( x 2 – 1 + x 2 – x + 1)
(x – 2)(2x 2 – x)
x(x – 2)(2x – 1)
+
–
–
+
2
0
x
Способ 4 . Определение модуля.
Пример 4. Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3 .
Решение.
х ≥ 1;
х
Если х – 1 ≥ 0 , то |x – 1| = х – 1 :
– 4х ≤ 0 ;
х ≤ 3 ;
2х ≤ 6;
х ∈ [1; 3] ;
х ∈ [0; 1] ;
Если х – 1
– 4х ≤ 0 ;
х – 1 ≥ 0 ;
2х ≤ 6;
х – 1
– 4х ≤ 0 ;
Ответ: [0; 3] .
Пример 5 . Решить неравенство | х 2 – 3 | – 2х ≤ 0 .
Решение.
│ х 2 – 3│≤ 2х ;
(х 2 – 3) 2 – (2х) 2 ≤ 0;
(х 2 – 3 – 2х)(х 2 – 3 – 2х) ≤ 0 ;
(х +1)(х – 1)(х – 3)(х + 3) ≤ 0 ;
+
+
+
–
–
3
– 3
– 1
1
Ответ: [ 1 ; 3] .
│х + 6│ . Решение. (х – 4) 2 (х + 6) 2 ; (х – 4) 2 – (х + 6) 2 0 ; (х – 4 – х – 6)(х – 4 + х + 6) 0 ; – 10(2х + 2) 0 ; 2х + 2 х Ответ: ( – ∞; – 1). " width="640"
Пример 6 . Решить неравенство │х – 4││х + 6│ .
Решение.
(х – 4) 2 (х + 6) 2 ;
(х – 4) 2 – (х + 6) 2 0 ;
(х – 4 – х – 6)(х – 4 + х + 6) 0 ;
– 10(2х + 2) 0 ;
2х + 2
х
Ответ: ( – ∞; – 1).
Решение.
Ответ: ( – 3; 2).
Пример 8 . Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30 .
Решение.
|2x + 3| ≤ 6 ;
(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 ;
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30 ;
y = |2x + 3| ;
y 2 – y ≤ 30 ;
y 2 – y – 30 ≤ 0 ;
D = 121 ;
y 1 = 6, y 2 = – 5 ;
(y – 6)(y + 5) ≤ 0 ;
– 5 ≤ y ≤ 6 ;
– 5 ≤ |2x + 3| ≤ 6 ;
|2x + 3| ≥ – 5;
2x + 3 ≤ 6 ;
2x + 3 ≥ –6 ;
x ≤ 1,5;
x ≥ –4,5 ;
х ∈ [ – 4,5; 1,5] ;
Ответ: [ – 4,5; 1,5].