Основные понятия систем счисления

Приложение 1

Теоретический материал

Основные понятия систем счисления

Для записей результатов количественных (числовых) измерений используются числа. Число – это основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Самыми распространёнными цифрами являются арабские цифры, представляемые знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры. Обычно количество цифр (символов) для записи чисел ограничено, поэтому для больших чисел цифры в его записи будут повторяться. Конечный набор (множество) цифр (символов) называется алфавитом. Совокупность приемов и правил изображения чисел цифровыми знаками называется системой счисления.

Система счисления должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в заданном диапазоне;

• однозначность, сжатость записи числа и простоту выполнения арифметических операций;

• достижение высокого быстродействия машины в процессе обработки информации.

Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления.

Основание системы счисления также определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр в соседних позициях числа. Основание системы счисления записывается справа от числа в нижнем индексе: 5₁₀; 111010₂; АF17C₁₆ и т.д. Запись числа в некоторой системе счисления называется его кодом.

Все системы счисления можно разделить на 3 вида:

• позиционные системы счисления;

• непозиционные системы счисления;

• смешанные системы счисления.

Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления – это система счисления, в которой значение символа зависит от его позиции в ряду цифр, изображающих число, т.е. количественное значение цифры зависит от того, какую позицию в числе она занимает. Классическим примером позиционной системы счисления является десятичная система счисления.

Рисунок 1.1 – Число позиционной системы счисления

Позиционную систему счисления с основанием P принято называть P-ичной. Основание позиционной системы счисления показывает, сколько чисел в алфавите системы счисления, а также определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр в соседних позициях числа.

Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Примерами позиционной системы счисления также могут служить двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д.

Непозиционные системы счисления

Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой значение символа не зависит от его положения в числе.

Примером непозиционной системы счисления является унарная (единичная) система счисления. Основное ее применение – обучение детей счету. В ее алфавит входит единственная цифра – 1, а количество единиц соответствует количеству объектов. Так, число 111 в унарной системе счисления обозначает число 3 в десятичной. В числе 111 встречаются три цифры 1, и каждая из них обозначает одну величину – число «один».

Еще одним классическим примером непозиционной системы счисления является римская система счисления, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита: I – 1,V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.

Рисунок 1.2 – Число непозиционной системы счисления

При записи чисел в римской системе счисления число составляется по следующим правилам:

1. если меньшая цифра стоит слева от большей, то меньшая цифра вычитается из большей;

2. если меньшая цифра стоит справа от большей, то обе цифры складываются. Одинаковые цифры так же складываются.

Примеры:

IX = 9.

MMXI = 1000 + 1000 +10 + 1 = 2011.

MCMXCVIII = 1000 +(-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1999.

Правила перевода из одной системы счисления в другую

В двоичной системе счисления все числа записываются с помощью двух цифр 0 или 1, основание (базис) двоичной системы счисления q=2.

В восьмеричной системе счисления все числа записываются с помощью восьми цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, основание восьмеричной системы счисления q=8.

В десятичной системе счисления все числа записываются с помощью десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В шестнадцатеричной системе счисления все числа записываются с помощью шестнадцати цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (количественный эквивалент числа 10), B (11), C (12), D(13), E (14), F (15), базис шестнадцатеричной системы счисления q=16.

При переводе чисел из системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо – начальный номер -1. Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание q системы счисления в степени, равной номеру разряда

Пример 3. Перевести число 10110110111,101₂ в десятичную систему счисления

+1*2⁰+1*2^-1+0+2^-2+1*2^-3= =512+0+128+64+0+16+8+0+2+1+0,5+0+0,125=731,625₁₀