Прямая и обратная пропорциональности

6 –К класс Дата 15.12.2025

Тема: Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Тип урока: Закрепление материала.

Цели: Образовательная: закрепить умение решать текстовые задачи с помощью пропорции при прямой и обратной пропорциональности; показать нестандартные способы решения. Развивающая: развить навыки математического моделирования, логического мышления, умение обосновывать выбор способа решения. Воспитательная: формировать аккуратность, ответственность за результат, умение работать в паре и объяснять решение.

Задачи: отработать навыки решения пропорции; практически отработать решение задач разной структуры (прямая и обратная пропорции); ознакомить с нестандартными приёмами (редукция, использование единичного показателя, обратное восприятие величин); проверить и оценить усвоение через устную работу, индивидуальные карточки и итоговую самостоятельную работу.

Методы урока:

• Словесные: объяснение, постановка вопросов;

• Наглядные: схемы (устно), таблицы;

• Практические: решение задач, работа в парах;

• Частично-поисковые: предложение учащимся найти альтернативные способы решения;

• Контроля и самоконтроля: взаимопроверка, тестовые задания, итоговая самостоятельная работа.

Ход занятия

1. Организационный момент (1 минута)

   • Приветствие, проверка готовности к уроку.

2. Мотивация и постановка целей (1 минуты)

   • Учитель: "На прошлом уроке мы уже решали задачи с помощью пропорции. Сегодня закрепим этот навык, научимся отличать прямую и обратную пропорциональность и попробуем нестандартные способы решения. Это пригодится при решении практических задач и при подготовке к контрольным работам."

   • Формулировка учебной цели вместе с классом (кратко).

3. Актуализация знаний (2 минут)

   • Вопросы учителя (устно, фронтально):

     1. Что такое пропорция? Как решают пропорцию методом "крестного умножения"? Основное свойство пропорции.

     2. Чем отличается прямая пропорция от обратной?

   • Краткая запись на доске определения и формул.

4. Демонстрация типов задач и алгоритма (3 минут)

   • Алгоритм решения задач: 1) Выделить величины и установить зависимость (прямая или обратная). 2) Ввести обозначения, составить пропорцию. 3) Решить пропорцию (крест-накрест или через единичный коэффициент). 4) Проверить ответ по смыслу.

   • Пример 1 : "Если 5 рабочих за 8 дней выполняют работу, то сколько дней займут 2 рабочих?"
     Обсуждение: при уменьшении числа рабочих время увеличивается — это обратная пропорциональная зависимость.

   • Пример 2: "5 деталей весят 15 кг. Сколько весят 8 таких деталей?"
     Обсуждение: при увеличения числа деталей вес увеличивается — это прямая пропорциональная зависимость.

5. Устный счет по учебнику страница 133 №3.76 (г-д) (4 минут)

6. Фронтальная работа: разбор задач (5 минут)

   • Учитель предлагает 2 задачки для устного решения классом. К каждому заданию задаёт наводящие вопросы.

   • Задача A (прямая): "За 3 часа автомобиль проезжает 180 км. Сколько км проедет автомобиль за 7 часов с той же скоростью?"
     Подсказки: скорость постоянна, количеством часов прямо пропорциональна расстоянию. Составить пропорцию или использовать единицу: за 1 час км, за 7 часов км. Ожидаемый ответ: 420 км. Вопросы учителя: "Какой способ проще: пропорция или единичный коэффициент? Почему?"

Задача B (обратная): "6 станков выполняют работу за 10 часов. Сколько станков потребуется, чтобы выполнить ту же работу за 5 часов?"
Подсказки: при уменьшении времени нужно больше станков — обратная пропорция. Составление: или использовать правило. Ожидаемый ответ: 12 станков.

1. Работа по карточкам (10 минут)

   • Раздать карточки с задачами разного уровня (3 уровня сложности). В парах ученики решают по 2 задачи: одну на прямую, одну на обратную пропорциональность. Один ученик решает, второй проверяет, затем меняются ролями.

   • Текст карточек:

Карточка 1 (легкая) 1) 4 книги весят 6 кг. Сколько весят 10 таких книг? 2) 5 рабочих строят за 12 дней забор. Сколько рабочих нужно, чтобы сделать тот же забор за 6 дней? (обратная)

Карточка 2 (средняя) 1) 7 литров краски покрывают 49 м2 стены. Сколько литров нужно для 84 м2? 2) 8 машин за 9 часов разгружают груз. Сколько машин потребуется, чтобы разгрузить тот же объём за 6 часов?

Карточка 3 (сложная) 1) 3 машины наполняют резервуар за 4 часа. Сколько времени займёт 5 таких машин? 2)В цехе 12 станков за 20 смен изготавливают 480 деталей. Сколько деталей изготовит 15 станков за 12 смен?

• Учитель ходит по классу, проверяет, задаёт наводящие вопросы, просит объяснять выбор вида пропорции и шаги решения.

Примеры проверочных вопросов при обходе:

• Почему вы считаете, что здесь прямая (или обратная) пропорция?

• Покажите, как составлена пропорция.

• Проверьте ответ: подставьте в условие — логично ли число?

1. Включение нестандартных способов (3 минут)

   • Учитель демонстрирует два нестандартных приёма на примерах:

   • Задача: 6 человек делают работу за 8 дней. Сколько человек нужно, чтобы сделать ту же работу за 4 дня?

   • Альтернативно: заметить, что время уменьшилось в 2 раза, значит рабочих должно стать в 2 раза больше.

2. Самостоятельная работа (итоговое мини-задание) (5 минут)

   • Учитель раздаёт короткий тест (3 задания) для индивидуальной работы на карточках.

   • Тестовые задания: 1) 9 кг картофеля стоят 1080 рублей. Сколько стоят 5 кг? (прямая зависимость цены от массы). 2) 4 машины вместе за 15 часов выполняют работу. Сколько часов потребуется 10 машинам? (обратная). 3) 3 краски покрывают 90 м2. Сколько м2 покроют 7 красок? (прямая)

   • Учитель собирает работы для проверки или выполняет оперативную выборочную проверку 3–4 карточек. Обсуждает устно результаты.

9. Карточка.

Задач "на размышление" (работа в парах) (13 мин)

Решите задачи и отгадайте название города воинской славы, который является побратимом героического Кронштадта. популярный город-курорт и крупный морской порт на юго-восточном побережье Крыма. В переводе с греческого языка название города означает «Данная Богом». Феодосия является одним из старейших городов Черноморского побережья. Здесь находятся картинная галерея
И.Айвазовского, дом-музей А.Грина и Марины и Анастасии Цветаевых, а также множество исторических и природных достопримечательностей.

6 апреля 2015 года, за мужество, стойкость и массовый героизм, проявленные защитниками города в борьбе за свободу и независимость Отечества Указом Президента Российской Федерации В. В. Путиным городу, было присвоено почётное звание — Город воинской славы.

• О)1) Три насоса наполняют бак за 6 часов, если работают вместе. Первый и второй вместе наполняют за 10 часов. Сколько часов работал бы третий один?

• 2) Если 4 машины за 6 дней производят 240 деталей, а производительность одной машины пропорциональна числу рабочих на ней, как изменится выпуск при увеличении числа машин и смен?

• 12 кг картофеля стоят 960 руб. Сколько стоят 7 кг?

• И) 5 станков за 8 часов изготавливают 200 деталей. Сколько часов потребуется 10 станкам?

• Д) 9 рабочих делают за 12 дней работу. Сколько дней займёт работу 6 рабочих?

• С) 4 батареи заряжают устройство за 5 часов. Сколько батарей нужно, чтобы зарядить устройство за 2 часа?

• Е)6 тетрадей стоят 150 руб. Сколько стоят 9 тетрадей?

• С) 5 рабочих строят стену за 12 дней. Сколько рабочих нужно, чтобы построить ту же стену за 6 дней?

• Я) 8 ламп освещают комнату за 2 часа работы по программе установки. Сколько времени потребуется 12 лампам?

• О) 3 машины за 7 часов развезли 210 заказов. Сколько заказов развезут 5 машин за 8 часов?

1. Итоги урока и рефлексия (2 минуты)

Итоги: кратко подводит результаты: какие задачи решали, что удалось, на что обратить внимание. Рефлексия ученикам устно: ответить на вопросы: 1) Что нового вы узнали на уроке? 2) Что вызвало затруднение? 3) Оцените свои действия по шкале от 1 до 5 (самооценка) оценкой в тетрадке (карандашом).

ДОМАШНЯЯ РАБОТА: Стр. 128 №3.49 №3.57, составить задачу и решить на прямую или обратную пропорциональные зависимости.

Карточка.

Задач "на размышление"

Решите задачи и отгадайте название города воинской славы, который является побратимом героического Кронштадта. популярный город-курорт и крупный морской порт на юго-восточном побережье Крыма. В переводе с греческого языка название города означает «Данная Богом». Феодосия является одним из старейших городов Черноморского побережья. Здесь находятся картинная галерея
И.Айвазовского, дом-музей А.Грина и Марины и Анастасии Цветаевых, а также множество исторических и природных достопримечательностей.

6 апреля 2015 года, за мужество, стойкость и массовый героизм, проявленные защитниками города в борьбе за свободу и независимость Отечества Указом Президента Российской Федерации В. В. Путиным городу, было присвоено почётное звание — Город воинской славы.

• О)1) Три насоса наполняют бак за 6 часов, если работают вместе. Первый и второй вместе наполняют за 10 часов. Сколько часов работал бы третий один? (15ч)

• 2) Если 4 машины за 6 дней производят 240 деталей, а производительность одной машины пропорциональна числу рабочих на ней, как изменится выпуск при увеличении числа машин и смен?

• 12 кг картофеля стоят 960 руб. Сколько стоят 7 кг? (560руб)

• И) 5 станков за 8 часов изготавливают 200 деталей. Сколько часов потребуется 10 станкам? (4Ч)

• Д) 9 рабочих делают за 12 дней работу. Сколько дней займёт работу 6 рабочих? (27рбочих)

• С) 4 батареи заряжают устройство за 5 часов. Сколько батарей нужно, чтобы зарядить устройство за 2 часа? (10батарей)

• Е)6 тетрадей стоят 150 руб. Сколько стоят 9 тетрадей? (225руб)

• С) 5 рабочих строят стену за 12 дней. Сколько рабочих нужно, чтобы построить ту же стену за 6 дней? (10 рабочих)

• Я) 8 ламп освещают комнату за 2 часа работы по программе установки. Сколько времени потребуется 12 лампам? (3ч)

• О) 3 машины за 7 часов развезли 210 заказов. Сколько заказов развезут 5 машин за 8 часов? (144ч)

Историческая справка. Первые фашисткие самолеты появились над Феодосией 23 июня.
Феодосия была оккупирована немецко-фашистскими захватчиками дважды: с 3 ноября 1941 года по 29 декабря 1941 года и с 17 января 1942 года по 13 апреля 1944 года.
Первый период оккупации был непродолжительным. 29 декабря 1941 года Феодосия была освобождена в результате спланированной и проведённой Керченско-Феодосийской десантной операции, которая вошла в историю как одна из первых и значительных десантных операций советских Вооружённых Сил. Она была не просто одной из крупных по своим масштабам, по своему характеру и значению, она не имела прецедента в истории военно-морского искусства.

В первые же дни после второго вторжения гитлеровцы выгнали за город более шести тысяч феодсийцев и расстреляли. Сейчас здесь находится четырехгранный обелиск, установленный в 1960 г.
Всего за период оккупации гитлеровцы расстреляли, повесили и замучили более восьми тысяч феодосийцев, около трех тысяч человек угнали на каторжные работы в Германию

В период оккупации Феодосии (ноябрь 1941 года — 13 апреля 1944 года) на территории порта располагался концлагерь для военнопленных, которые использовались на восстановительных работах в порту. Военнопленные организовали подпольную группу.
Почти два с половиной года хозяйничали в городе фашистские оккупанты, а в апреле 1944 г. с Керченского плацдарма началось наступление войск Отдельной Приморской армии под командованием генерала армии А. И. Еременко во взаимодействии с Черноморским флотом и 4-й воздушной армией.
Попытки гитлеровцев закрепиться на Акмонайских позициях оказались безуспешными.
Над городом был поднят красный флаг. «13 апреля 1944 года Этот день навсегда останется в памяти жителей Феодосии как радостный волнующий праздник освобождения от фашистских захватчиков".