Роль математики в объединении разных подходов к пониманию современного мира

АККРЕДИТОВАННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧСЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

Кафедра _____ОМЕНД______________________________________________________________

Дисциплина ___Математическое моделирование_______________________________________

Факультет_ Прикладная информатика в экономике __________группа  02ПРд4010

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Студенту _Сухов Николай Сергеевич

(фамилия, имя, отчество)

Научный_________ руководитель__К.Т.Н. Кривоносов В. А___________________________

(ученая степень, звание, Ф.И.О.)

Тема: Роль математики в объединении разных подходов к пониманию современного мира..

(утверждена на заседании кафедры «____» ____________20___г. протокол №_____)

Целевая установка: ___Раскрыть содержание этапов и принципов моделирования, в самом общем случае независимо от предметной области, но с примером мат. модели конкретного случая.

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Основные вопросы, подлежащие разработке:

_1.Моделирование как процесс с отражением конкретных этапов._____________

_2.Основное содержание каждого этапа_________________________________________

_3.Реализация модели в общем случае (выбор среды реализации, требования к ней, удобство или неудобство и т.д.)

-4.Разработка конкретной модели процесса по вашей теме, как пример использования генератора случайных величин с анализом полученных результатов (ознакомьтесь с методами по вашей теме и формализуйте в среде) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Основная литература:

1. _ Акопов А.С. Имитационное моделирование : учебник и практикум для академического бакалавриата. – М. : Издательство Юрайт, 2014. - 389 с.

2. Емельянов А.А., Емельянова Н.З. Имитационное моделирование и компьютерный анализ экономических процессов – ПРАКТИКУМ: Учебное пособие. – Смоленск: Универсум, 2014. – 230 с.

3. Емельянов А.А., Емельянова Н.З. Имитационное моделирование и компьютерный анализ экономических процессов: Учебное пособие. - Смоленск: Универсум, 2013. – 266 с.

Аккредитованное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово-юридический университет МФЮА» (МФЮА)

КАФЕДРА « Прикладная информатика и защита информации» (полное наименование кафедры)

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

Канд.техн. наук,Доцент

(ученая степень, ученое звание)

(подпись)

«____»____________

(дата)

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: « Математическое и имитационное моделирование » (название дисциплины в соответствии с учебным планом)

на тему: « Роль математики в объединении разных подходов к пониманию современного мира » (название курсовой работы в соответствии с приказом о закреплении тем и назначении руководителей курсовых работ)

Направление подготовки (специальность)

Прикладная информатика

(код, наименование направления подготовки (специальности)

Профиль (специализация)

Прикладная информатика в экономике

(наименование профиля (специализации)

Автор работы

Сухов Н.С.

29322460

«__»_______20__ г.

(Фамилия И.О.)

ИНС

(дата)

Руководитель работы

«__»_______20__ г.

(должность)

(подпись)

(дата)

Работа защищена с оценкой

(оценка прописью)

«__»_______20__ г.

(должность)

(подпись)

(дата)

Сергиев Посад 2022 (город)

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Роль математики в развитии современного мира 7

1.1 Этапы развития математики 7

1.2 Основы математической цивилизации 17

Глава 2. Аксиоматический метод построения научной теории 20

2.1 История создания неевклидовой геометрии 20

2.2 Моделирование как процесс с отражением конкретных этапов 22

2.3 Разработка конкретной модели процесса 28

Заключение 34

Список используемой литературы 36

ВВЕДЕНИЕ

История развития математики - это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социально-экономическими условиями различных эпох.

Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике.

Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира.

При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science), сила математики не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам.

Математика участвует в развитии интеллекта, мышления и личностных качеств человека. Формирует логический склад ума. Жизненные процессы и явления, можно описать на математическом языке, с помощью формул и математических законов. Человек, который знает язык математики, может правильно ориентироваться в окружающей нас действительности. Знание математики позволяет правильно обрабатывать информацию, статистические данные, делать правильные выводы. Если ученик будет уметь применять математический язык, то при ответе на уроке он сможет быстро и четко сформулировать и обосновать свой ответ¹.

Современную математику часто сравнивают с большим городом. Это отличное сравнение, потому что в математике, как и в большом городе, идет непрерывный процесс роста и совершенствования. В математике появляются новые области, строятся изящные и глубокие теории, такие как строительство новых кварталов и зданий. Но прогресс математики не ограничивается изменением облика города из-за строительства нового. Старое тоже надо менять. Старые теории включаются в новые, более общие; есть необходимость в укреплении фундаментов старых построек. Необходимо проложить новые улицы, чтобы связать отдаленные кварталы математического города. Но этого недостаточно - архитектурное проектирование требует значительных усилий, поскольку разнообразие стилей в различных областях математики не только портит общее впечатление о науке, но и мешает пониманию науки в целом, устанавливая связи между различными ее частями².

Часто используется другое сравнение: математику сравнивают с большим ветвистым деревом, которое систематически дает новые побеги. Каждая ветвь дерева - это та или иная область математики. Количество веток не остается неизменным, так как разрастаются, срастаются сначала новые ветки, которые росли отдельно, некоторые ветки засыхают, лишенные питательных соков. Оба сравнения уместны и очень хорошо передают реальное положение дел.

Несомненно, спрос на красоту играет важную роль в построении математических теорий. Само собой разумеется, что чувство прекрасного очень субъективно и на этот счет часто возникают довольно некрасивые идеи. И все же следует удивляться тому единодушию, которое математики вкладывают в понятие «красота»: результат считается прекрасным, если из небольшого числа условий можно получить общий вывод, применимый к широкому кругу вопросов. Математический вывод считается красивым, если он может доказать важный математический факт с помощью простых и кратких рассуждений. Зрелость математика, его талант угадываются по тому, насколько развито его чувство прекрасного. Эстетически полные и математически совершенные результаты легче понять, запомнить и использовать; легче определить и их взаимосвязь с другими областями знаний.

Математика в наше время превратилась в научную дисциплину с множеством направлений исследований, огромным количеством результатов и методов. Математика сейчас настолько велика, что нет возможности для одного человека понять ее во всех ее частях, нет возможности быть универсальным специалистом в ней. Утрата связей между отдельными ее областями, несомненно, является негативным следствием стремительного развития этой науки. Однако в развитии всех разделов математики есть нечто общее - истоки развития, корни дерева математики³.

Актуальность темы - это получение теоретических и практических знаний, которые понадобятся в жизни. Расширяем свой кругозор, потому что математика встречается повсюду, в окружающем нас мире.

Предметом исследования является влияние математики на различные сферы жизни человека.

Цель исследования: проанализировать быт современного человека; определить, где чаще всего он сталкивается в жизни с математикой; выяснить роль математики в жизни человека.

Задачи курсовой работы:

1. изучить литературу по теме курсовой работы;

2. познакомится с краткой историей возникновения математики;

3. понять, где в современном образе жизни можно применять математику;

4.найти примеры, где встречается математика в быту.

Работа состоит из 2 глав, 5 параграфов, заключения и списка использованной литературы.

ГЛАВА 1. РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В РАЗВИТИИ СОВРЕМЕННОГО МИРА 1.1 Этапы развития математики

Развитие математики тесно связано с прогрессом цивилизации, влияя на ход истории благодаря ее применению в науке и технике. Но математика изменилась. Даже математика 1800-х годов может показаться довольно странной сейчас, так сильно математика эволюционировала за последние 100 лет и так тщательно была переработана в постмодернистском подходе.

Несмотря на его загадочный внешний вид со стороны, нынешнее, абстрактное и узкоспециализированное состояние математики является естественной эволюцией предмета, и впереди еще много интересного.

Хотя математические знания являются древними, уходящими корнями в каменный век, эволюция математики до ее нынешнего современного состояния привела к фундаментальным изменениям в концепциях, организации, масштабах, перспективах и практике. Без понимания эволюции математической мысли трудно оценить современную математику в ее современном, узкоспециализированном состоянии⁴.

Грубо говоря, я бы выделил семь периодов в эволюции математики, каждый из которых имеет свои особенности:

1. Протоматематика (из туманов древних времен, через археологические свидетельства около 30000 г. до н.э., до 2000 г. до н.э.): эмпирическая, не абстрактная, базовая;

2. Древняя математика (с 2000 г. до н.э. до 800 г. до н.э.): эмпирическая, абстрактная, очень сложная (вавилонская, египетская), не аксиоматическая;

3. Классическая математика (от 800 г. до н.э. до 1500 г. н.э.): аксиоматическая геометрия (греческий), очень сложная геометрия, сложная абстракция в алгебре и алгоритмизация арифметики (индийская, арабская, центральноазиатская);

4. Коммерческая математика (с 1400 по 1500 гг. н.э.): совершенствование счисления, развитие символов и арифметики с символической стенографией (Европа эпохи Возрождения), сложная алгебра и решение уравнений (итальянские спорщики);

5. Современная математика (от 1500 г. н.э. до 1700 г. н.э.): функции, непрерывная математика, аналитическая геометрия, исчисление, приложения к науке;

6. Современная математика (с 1700 г. н.э. по 1950 г. н.э.): современный абстрактный анализ, современная абстрактная алгебра, современная абстрактная геометрия, современная логика – все это освободило математику от перспектив, парадоксов и проблем, с которыми сталкивались в классический и коммерческий периоды;

7. Постмодернистская математика (с 1950 г. н.э. по настоящее время): резкое расширение масштабов и производительности в математике, основанное на аксиоматических методах, ускоренное беспрецедентным ростом науки, прикладной науки, техники, технологий, статистики и приложений во всех областях человеческой деятельности.

Рассмотрим поподробнее каждый из периодов:

1. Протоматематика. Сущность математики, назовем ее протоматематикой, существует в эмпирических наблюдениях и взаимодействиях с окружающей средой. Даже древнейший человек нуждался в базовых математических знаниях: подсчете, учете времени, форме и симметрии в ремеслах и искусстве, а также в практических вопросах измерения и построения, хотя и грубо⁵.

В течение многих тысячелетий человечество эволюционировало к более оседлому образу жизни, включающему обработку земли и разведение скота. Это означало больше еды при меньшем количестве работы на душу населения, стимул для большей специализации (ремесла), рост сообществ, развитие классов и иерархий (воин, фермер), рост администрации и больше досуга. Письменность позволила человеку передавать свои знания, учить, учиться и сохранять то, чему он научился, из поколения в поколение.

2. Древняя математика. Из эмпирической математики возникли, посредством абстракции, науки об арифметике (число) и геометрии (рисунок). Они были развиты в чрезвычайно сложную науку вавилонянами и египтянами и достигли впечатляющих высот во время их соответствующих цивилизаций, применяясь к астрономии, регулированию времени, управлению, планированию и логистике, межеванию, расчету площадей и объемов, строительству и проектированию невероятных памятников.

Древний период рассматривал математику как явления числа и протяженности. Каждый из них можно было рассматривать абстрактно и приводить рассуждения, но формальная структура в целом отсутствовала. Знания и возможности вавилонской и египетской математики были довольно сложными: удивительно точные астрономические вычисления, значение точностью до нескольких знаков после запятой, формулы для областей из числа двух- и трех- пространственные объекты, знание структурной устойчивости и ее проявление в чудесной архитектуре (египетские пирамиды, зернохранилища Месопотамии, висячие сады Вавилона и т. Д.), Решение квадратичных и, в некоторых случаях, кубических уравнений, позиционная система счисления и вычислений, включая позиционные десятичные дроби у вавилонян, управление землями и налогами, точная съемка, логистика административного планирования, ведение документации и снабжение больших армий солдат и рабочих⁶.

3. Ранняя классическая математика. Греки ввели в математику фундаментальную абстракцию: разделение математических процессов от эмпирического к логическому и расположение фактов геометрии по иерархии утверждений, основанных на принятии первых принципов или аксиом.

Представление о математике представляло собой формальную структуру в целом, скрепленную законами мышления, с результатами, организованными в линейную совокупность работ, каждая из которых доказана в терминах уже принятых или доказанных утверждений, с полным пониманием необходимости первых принципов или аксиом.

Наука геометрии процветала при греках, включая приложения к механике, машинам, астрономии и инженерии, как греческой, так и римской. Многие сложные задачи в криволинейной и твердотельной геометрии были получены с помощью методов исчисления: нахождение площадей и периметров с помощью процесса все более и более точного приближения путем суммирования (хотя формально это не вычисление предела).

Встреча с парадоксом

При разработке арифметики и концепции чисел греки рано обнаружили неадекватность общего понятия числа (рационального числа) для описания длин. Действительно, простая длина, диагональ квадрата, ускользала от их общего представления о числе.

Это было началом открытия парадоксов в теории математики. Тот факт, что диагональ и сторона квадрата (логически) несоизмеримы, не является проблемой реальности; это проблема с логической теорией, которая была разработана: вот эта длина, очень простая, очень самоочевидная. И вот эта теория: очень привлекательная, очень полезная, очень ценная, очень хорошо соответствующая реальности до этого момента. И эта теория сочетает арифметику с геометрией, число с мерой. Но у теории сейчас, несомненно, есть проблема. Эти длины несоизмеримы. Не существует (рационального) числа, которое могло бы измерить эту длину, независимо от того, насколько мал масштаб измерения⁷.

Это взорвало предохранитель в древнегреческом мире и привело к всевозможным интеллектуальным поискам, чтобы попытаться найти недостаток, проблему. Ключевым моментом, который следует иметь в виду, является то, что проблема заключается в построении математической теории. Это не проблема с миром, или с прогрессом, или с наукой, или с техникой. В реальном мире диагонали можно измерить, без проблем. Фактически, все длины могут быть измерены с точностью до используемого измерительного прибора. Это означает, что все измерения рациональны, и нет никаких практических трудностей.

Но для греков было глубоко неудовлетворительно иметь теорию, в которой каждая длина не может быть представлена некоторым «числом». Учитывая сложность концепции числа, трудности при попытке расширить ее, чтобы охватить все измерения (существование иррациональных и т. Д.), А также парадоксы числа, пространства и времени Зенона и других, геометрия рассматривалась как скала, на которой покоилась математическая реальность. Числа считались полезными, но с подозрением и не всегда надежными.

Такой образ мышления привел к тому, что геометрия стала для греков высшей. И выдающееся достижение Евклида в изложении элементов геометрии сохранило эту позицию для геометрии до конца 1700-х и в начале 1800-х годов. Но теперь четко произошло разделение между конкретной и абстрактной математикой, между практической наукой и инженерией и теоретической математикой.

В стороне: разрешение парадокса числа

Решением проблемы чисел является ее расширение, включающее все (Коши) последовательности рациональных чисел, поскольку они будут сходящимися до тех пор, пока существует точка их сходимости. Таким образом, могут быть заполнены для всех простых чисел и, в принципе, всех чисел, которые могут быть аппроксимированы с неопределенной точностью (i.е. иметь десятичное разложение или итеративную / индуктивную формулу). Это «реальные» числа, а их установление и свойства являются источником основ анализа, достижение, которое было окончательно завершено в 1800-х годах Кантором, Дедекиндом и другими. Эта новая и гораздо более обширная область чисел больше не является счетной бесконечностью, а неисчислимой бесконечностью чисел, как показал Кантор.

4. Поздняя классическая математика. Алгебра, наука об уравнениях, была хорошо развита уже во времена Вавилона и Египта. Но она процветала в исламскую эпоху под руководством арабских и центральноазиатских математиков, а также индийских математиков. Именно здесь арабские и центральноазиатские математики превратили современные представления о решении алгебраических выражений в алгоритмический процесс и применили их к астрономии, оптике, инженерии и торговле.

Меркантильная математика

Процветающая торговая и финансовая система возникла примерно за тысячу лет исламского правления, сначала при Багдадском и Дамасском халифах, затем под властью монголов и, наконец, при дворах турок-сельджуков. Вычисления, вычисления и другие подобные практические математические вопросы, включая отрицательные числа, были развиты и процветали в Аравии, Центральной Азии, Индии и Китае.

С возобновлением обучения в Европе в эпоху Возрождения и подъемом торговых государств Италии после крестовых походов, торговая математика Ближнего Востока и Востока прибыла в Европу, чтобы возродить арифметические знания и практическое искусство вычисления.

В связи с возрождающимся интересом к математике, появившимся в период меркантилизма, в арифметике и алгебре возникли дальнейшие разработки: в математику был введен символизм, и была решена задача поиска решений для многочленов порядка 3, 4 и 5. Полиномы третьей и четвертой степени решались с помощью радикалов. Задача заключалась в многочленах более высокой степени.

Появление понятия функций

Именно на этом этапе происходит следующее крупное нововведение в математике, которое объединяет арифметику, геометрию, алгебру и анализ. Это понятие - понятие непрерывной функции, его использование при моделировании физических и геометрических ситуаций, а также его манипулирование и анализ с использованием алгебры и арифметики. Этот подход оказался чрезвычайно плодотворным, расширив область применения математики для всех наук.

Понятие функции было разработано на основе эмпирических наблюдений и моделирования с использованием функций Галилеем и его приложений к проблемам геометрии, аналитической геометрии Декартом и Ферма. Понятия были углублены благодаря разработке аналитических функций тригонометрии, логарифмов и экспоненциальных функций (расширение стабильных функций от алгебраических многочленов, радикалов и рациональных функций классической алгебры). Эти разработки привели к переломным результатам исчисления, а именно к объединению дифференциального исчисления (проблема касательных) и интегрального исчисления (проблема областей), а также их применения в оптимизации, физике и во всех областях, которые теперь стали возможными.

5. Досовременный период. Современная математика - это ослабление синтетической классической геометрии с усовершенствованием аналитических геометрических методов и возникновением символической алгебры. Потребности, порожденные аналитическими методами, вместе с улучшением символики, привели к большему вниманию и прогрессу в том, что я бы назвал «классической» алгеброй, которая в то время была действительно теорией уравнений, полиномов. Кроме того, существовала классическая теория чисел без современной алгебры, классический геометрический анализ без ограничений или исчисление бесконечно малых, классические комплексные числа, классическая теория вероятностей.

Отрицательные числа, которые теперь стали гораздо более привычными благодаря торговле и прогрессу арифметических алгоритмов, все еще рассматривались с некоторым подозрением и неохотно использовались в качестве вычислительных устройств, которые помогали получать правильные ответы, даже если временно приходилось приостанавливать «значение» определенного шага и просто следовать формально. Этот взгляд на числа подкреплялся присутствием в вычислениях и решениях чисел, которые не имели реального значения в моделируемой «реальности», например, отрицательных чисел, корней, мнимых чисел. Именно в этом контексте достижения Эйлера и смелое использование формальных манипуляций можно считать феноменальными и во многих отношениях опережающими его время⁸.

Хотя исчисление существовало, оно по-прежнему рассматривалось как геометрический предмет с сопутствующей поддержкой численных вычислений и методов вывода других геометрических явлений.

Математики, вплоть до Эйлера в начале 1800–х годов, называли себя «геометрами» (Ньютон, Лейбниц, Ферма, Лопиталь, даже Эйлер - все они были геометрами, которые также изучали числа, науку и другие вопросы). Только в конце 1800-х годов (Гаусс, Риман, понимание и принятие неевклидовой геометрии) они называли себя «математиками» или «логиками»).

Можно сказать, что досовременная математика была математикой примерно до конца 1600-х годов (Ферма, Бернулли, Лейбниц, Ньютон) и, возможно, с середины до конца 1700-х годов. Эйлер был переходной фигурой на разделительной линии с современной математикой в первой половине 1700-х годов (Эйлер).

6. Современный период. Современный период математики характеризовался всесторонним и систематическим синтезом математических знаний. Он примечателен тем, что раскрывает глубокие структурные явления, а также обобщает, объединяет и синтезирует всю математику⁹.

Можно сказать, что современная математика родилась в 1800-х годах и характеризуется решением проблем классического периода, а также дополнительными нарушениями, которые были обнаружены и продолжают обнаруживаться в теории математики в том виде, в каком она тогда понималась: основа интегрального и дифференциального исчисления, невозможность решения радикалами полиномов пятой или более высокой степени (что объясняет, почему классические геометрические задачи не имели решения), парадоксы в логических основах (Рассел, Бурале Форте и др.), шокирующие результаты о высших порядках бесконечности и теории множеств Кантора (гипотеза континуума), «монстры» реальных аналитических функций и теории меры (непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции и т. д.) И шокирующие ограничения логики в теоремах Геделя о неполноте.

Результатом стало богатое развитие и переработка математики:

1. теория Галуа, которая разрешила как невозможные нерешенные проблемы из классической геометрии, а также нерешенные проблемы из классической алгебры и теории уравнений;

2. тщательное определение понятия предела, рассмотрение бесконечных рядов как предела частичных сумм и основы анализа на арифметических терминах, то есть построение системы вещественных чисел как классов эквивалентности последовательностей Коши, что эффективно дополняет систему счисления и включает иррациональные числа;

3. исследование алгебраической структуры целых чисел, многочленов, теории чисел, матриц, кватернионов и векторов, современных алгебраических структур и алгебраической математики, применяемой к геометрии и континууму;

4. решение нерешенной проблемы параллельного постулата путем демонстрации логически обоснованных неевклидовых геометрий;

5. создание теории множеств, способной обрабатывать бесконечные и более высокие порядки бесконечности;

6. демонстрация существования трансцендентных чисел и, действительно, их доминирования среди всех чисел и относительной малой бесконечности рациональных и даже алгебраических чисел, а также демонстрация трансцендентности и .

Итак, современная математика - это современная алгебра, теория алгебраических уравнений Галуа, современная теория чисел, анализ, теория множеств, комплексные переменные, анализ Фурье и т. д.: Большая часть содержания продвинутой математики уровня бакалавриата и магистратуры.

Можно сказать, что современная математика существовала с середины 1800-х до начала середины 1900-х годов, когда такие математики, как Коши, Вейерштрасс, Риман, Дедекинд, Больцано, Кантор и Гильберт, устанавливали язык и модели мышления, характерные для современной математики. Хотя Лаплас, Пуассон, Гаусс, Фурье и Лагранж внесли свой вклад в создание многих современных областей исследований в конце 1700-х и в течение 1800-х годов и раскрыли важные части структур современной математики, форма их работы и стиль их изложения теперь кажутся архаичными, поскольку, как это обычно было, в стиле досовременной математики.

Современная математика, хотя и более унифицированная, абстрактная и разнообразная, чем досовременная математика, все же не является математикой сегодняшнего дня. Хотя более глубокие структуры математических областей были раскрыты, они еще не были отражены в стандартизированном подходе к различным его областям. Это наследие, которое характеризует постмодернистский период.

7. Постмодернистский период. Современная математика поистине обширна. В последний раз, когда говорилось, что один человек мог понять всю математику, возможно, в 1800-х годах. Это время уже давно прошло и вряд ли вернется.

Математика, практикуемая сегодня, удивительно отличается от математики даже начала 1900-х годов. Что изменилось? В начале постмодернистского периода представление математики было тщательно переработано, чтобы отразить более глубокие структуры, которые, как было обнаружено, пронизывают математику. Таким образом, постмодернистская математика характеризуется аналитическим и теоретико-множественным языком математической практики, а также современным алгебраическим. Рассмотрим топологию, современную геометрию (сильно отличающуюся от классической геометрии) и всевозможные современные абстракции, большинство из которых аксиоматизированы, а процедуры, в рамках которых являются аксиоматическими.

Хотя может показаться, что математики отбросили всякую связь с «реальным миром» и объявили его ненужным для сердца математики, это совершенно не так. Да, существует беззастенчивое представление математики в терминах абстрактных определений, аксиоматизированных математических структур и исследования результирующих объектов, систем и их свойств. Но состояние современной абстрактной математики представляет собой непрерывный процесс естественной эволюции предмета и совокупности знаний.

Можно сделать вывод, что возможности для плодотворного применения технологий огромны, и при условии, что можно устранить больший риск недопонимания в образовании, впереди еще много интересного¹⁰.

1.2 Основы математической цивилизации

Возникновение математики относится историками науки к эпохе каменного века (позднего палеолита, начала неолита) – около 10 тыс. лет до н.э. Тогда возникали первоначальные представления о форме и числе, обусловленные естественными потребностями при переходе от собирания к производству пищи¹¹.

Развивались простейшие ремёсла, люди выплавляли и обрабатывали медь и бронзу, появлялись излишки еды и товаров и, как следствие, развивалась торговля. Для торговли потребовались числовые обозначения единиц товара, которые были тогда довольно примитивными. Возникала необходимость получение чисел больших чем один и два. Числа стали группировать в большие единицы, дополняя примитивным сложением или вычитанием. Появляется счёт с основанием 5, а затем и 10, 20. Возникла примитивная арифметика, которая включала операции сложения, вычитания, умножения и примитивного деления (как правило пополам, реже на три или четыре части). Возникшая потребность в измерении длины и вместимости сосудов была опять покрыта человеческим телом – возникают единицы измерения «палец», «локоть». В этот период числовое исчисление и геометрические построения попадают и в религиозные обряды. Возникают магические символы и цифры, появляется нумерология, существующая и в наши дни.

В период 5-3 тысячелетия до н.э. вдоль крупнейших рек Азии и Африки – Нила, Тигра, Евфрата, Инда, Ганга и Хуанхэ складываются первые цивилизации. Цивилизации характеризуются централизованным управлением, наличием городов, социальным расслоением населения и сложением отдельных общественных классов, возникновением новых профессий и увеличением излишков производства. Появляются люди сведущие в различных вопросах – строительстве, медицине, металлургии, астрономии и различных ремёслах. Математика на этом этапе развития являлась прикладной наукой, обеспечивающей календарные расчёты, сбор налогов, необходимые геометрические измерения и другие хозяйственные нужды. В школах писцов возникает алгебра и начала теоретической геометрии.

Основные сведения о математических достижениях в древнем Египте черпаются из папируса Рейнда, который датируется примерно 1650 г. до н.э. и содержит 84 задачи и «московского» папируса, датированного примерно 1800 г. до н.э., содержащего 25 задач. Из папирусов ясно, что использовалась десятичная система счисления со специальными знаками. Арифметика имела аддитивный характер (сводимый к повторным сложениям). Древним египтянам были известны простые дроби и основные действия с ними. В задачах папирусов встречаются упоминания об арифметической и геометрической прогрессии. В части геометрии египетские учёные решали задачи о площади треугольника, круга и их значение числа Пи равнялось 3,1605. Решались задачи и об объёмах тел – куба, параллелепипеда, круглого цилиндра и усечённой пирамиды. Следует отметить, что практически все математические задания имели целью решение практических повседневных задач, а уровень математики был достаточно примитивным, как, впрочем, и астрономии.

Известные сведения о математической науке Двуречья (Тигра и Евфрата, центр Вавилон) черпаются из расшифрованных клинописных табличек. Древние тексты последнего шумерского периода (2100 г. до н.э.) содержат таблицы умножения и развитую шестидесятичную систему счисления в сочетании с десятичной. Так что современные деления часа на 60 минут, круга на 360 градусов, восходят корнями к шумерской математике. У вавилонян разные разряды числа показывались одними и теми же символами, в отличии от египтян, что давало огромные преимущества при вычислении. Уже к началу 2 тысячелетия до н.э. шумеры имели хорошо разработанную алгебру. Вавилонянам были доступны решения квадратных уравнений с двумя неизвестными, известны решения задач, сводящихся к кубическим и биквадратным уравнениям. В геометрической науке были доступны вычисления площадей простых фигур, известны методы нахождения объёмов простых тел, но не усечённых. Была известна теорема, получившая позднее название теоремы Пифагора. Для проведения вычислений было составлено множество таблиц (умножения, обратных величин и другие). Подводя итог обзору междуреченской математики, можно сделать вывод что она, в отличие от египетской была гораздо более развита и постоянно совершенствовалась.

ГЛАВА 2. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ НАУЧНОЙ ТЕОРИИ 2.1 История создания неевклидовой геометрии

Примерно в 300 году до н.э. Евклид написал «Элементы», основной трактат по геометрии за почти две тысячи лет. Евклид начинает с элементов, давая около 23 определений. После того, как он дал основные определения, он дает нам пять «постулатов». Постулаты (или аксиомы) - это предположения, используемые для определения того, что мы сейчас называем евклидовой геометрией.

Пять аксиом для евклидовой геометрии:

1. любые две точки могут быть соединены прямой линией. (Эта линия уникальна, учитывая, что точки различны);

2. любой отрезок прямой линии может быть бесконечно продолжен по прямой линии;

3. для любого сегмента прямой линии можно нарисовать окружность, имеющую сегмент в качестве радиуса и одну конечную точку в качестве центра;

4. все прямые углы совпадают;

5. через точку, не находящуюся на данной прямой, можно провести одну и только одну линию, которая никогда не пересекается с данной линией.

Пятый постулат называется параллельным постулатом. Евклид использовал другую версию параллельного постулата, и есть несколько способов записать 5-й постулат. Все они эквивалентны и приводят к одной и той же геометрии¹².

«Если провести две линии, которые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две линии неизбежно должны пересекаться друг с другом на этой стороне, если они простираются достаточно далеко». (Версия Евклида)

«Сумма углов в треугольнике равна ровно 180 градусам».

«учитывая прямую L и точку P не на этой прямой, существует ровно одна прямая через P, которая параллельна L».

Аксиомы - это основные утверждения о прямых, отрезках, окружностях, углах и параллельных прямых. Нам нужны эти утверждения, чтобы определить природу нашей геометрии.

Пятый постулат, «параллельный постулат», казался более сложным и менее очевидным, чем остальные четыре, поэтому в течение многих сотен лет математики пытались доказать его, используя только первые четыре постулата в качестве предположений.

Греки уже изучали сферическую тригонометрию. Гиппарх (190 г. до н.э.-120 г. до н.э.) был греческим астрономом. Он был известен своими работами в области тригонометрии, и он, возможно, знал некоторые результаты о сферических треугольниках. Менелай Александрийский (около 100 г. н.э.) работал над сферической геометрией и был первым известным, опубликовавшим трактат на эту тему. Работа Менелая называлась Sphaerica (3 тома) и включала материал о свойствах сферических треугольников. Птолемей (около 90 - 168 гг. н.э.) также включил в свою работу некоторые исследования сферических треугольников. Для сравнения, разработка гиперболической геометрии заняла гораздо больше времени.

Мы видели, что параллельный постулат ложен для сферической геометрии (поскольку параллельных геодезических не существует), но это бесполезно, поскольку некоторые из первых четырех тоже ложны. Например, существует много геодезических через пару противоположных точек.

Фактически, первые четыре постулата (плюс предположение о том, что линии бесконечны) подразумевают, что при наличии линии и точки не на этой линии существует требуемая параллельная линия¹³.

В 1733 году священник-иезуит Джованни Саккери начал с предположения, что пятый постулат был ложным, и попытался (очень подробно) вывести утверждение, противоречащее остальным четырем. При этом он почти создал теорию гиперболической геометрии. Однако его целью было не открывать новые виды геометрии, а исключить их, поэтому он завершил свой трактат разглагольствованием об абсурдности всего, что он только что написал.

Великий немецкий математик Карл Фрейдрих Гаусс, по-видимому, считал, что существует геометрия, которая удовлетворяет первым четырем постулатам Евклида, но не пятому. Однако Гаусс никогда не публиковал и не обсуждал эту работу, потому что чувствовал, что его репутация пострадает, если он признает, что верит в неевклидову геометрию. В начале 1800-х годов эта идея была абсурдной.

Как правило, Николаю Ивановичу Лобачевскому приписывают открытие неевклидовой геометрии, ныне известной как гиперболическое пространство. Он представил свою работу в 1820-х годах, но даже она не была официально опубликована до 20-го века, когда Феликс Кляйн и Анри Пуанкаре поставили тему на твердую основу.

В наших двух других геометриях, сферической геометрии и гиперболической геометрии, мы сохраняем первые четыре аксиомы, а пятая аксиома - та, которая меняется. Следует отметить, что даже несмотря на то, что мы сохраняем наши утверждения первых четырех аксиом, их интерпретация может измениться!

2.2 Моделирование как процесс с отражением конкретных этапов

Я бы хотел рассмотреть задачу для общего случая, как минимум для понимания того, как работает генератор случайных дат.

Допустим, перед нами стоит задача найти количество человек, рождённых в период с 01.01.1980 по 31.12.1990, всё задавать автоматически с помощью генератора случайных величин.

Сначала зададим, сколько людей будет участвовать в эксперименте

Рисунок 1. Количество людей в эксперименте.

Далее необходимо ввести период рождения людей с какого числа и по какое.

Рисунок 2. Период рождения людей.

Затем ячейку «В1» впишем «Случайная Дата», после нажмём на ячейку «B2» правой кнопкой мыши и сменим ее формат на дату для дальнейшей работы. Запишем формулу генератора случайной даты

=СЛУЧМЕЖДУ(ДАТА (начало);ДАТА(конец)) – эта формула будет автоматически подставлять значения дат в ячейке (Показана на рисунке 3). После чего, продлим этот столбец до последнего человека, как показано на рисунке 4.

Рисунок 3. Определения промежутка вычислений.

Рисунок 4. Автоматическое определение дат среди заданного количества людей.

Вслед за этим, создадим колонку тех людей, которые родились в определённый промежуток времени, который задан изначально, а именно 01.01.1980 и 31.12.1990 и назовём её «количество вхождений в диапазон», расположив это всё в колонке «F».

Рисунок 5. Столбец для поиска кол-ва людей, рождённых в заданный промежуток времени.

Теперь покажем, какие именно люди родились в нашем диапазоне.

Для этого нам необходимо выбрать столбец «B2:В29» и затем воспользоваться условным форматированием, которое находится сверху на панели, нажать управление правилами как показано на рисунке (6). Далее необходимо нажать создать правило, выбрать тип «Использовать формулу для определения форматируемых ячеек» и записать туда =И(B2=$I$1), затем выбрать формат «заливка» и выбрать цвет которым хотим показывать эти даты, у меня это салатовый рисунок (7). Затем нажать применить и мы увидим, как изменяться ячейки.

Рисунок 6. Условие форматирования.

Рисунок 7. Параметры форматирования.

Для того чтобы увидеть, как происходит работа программы воспользуемся клавишей «Delete», при каждом её нажатии в отдельной ячейке, изменяются значения в столбце «B» и «F», покажем это на рисунке (8) и (9).

Рисунок 8. Пример работы программы.

Рисунок 9. Ещё пример работы программы.

На этом всё, мы разобрали общий случай работы программы, показав примеры. Теперь же для того чтобы было интересней покажем работу программы на конкретном случае, где будет задано больше условий.

2.3 Разработка конкретной модели процесса

Предположим, что перед нами стоит задача найти количество человек, которые родились c 14.12.2000 года по 31.01.2010 в промежутке с 10:00 до 15:00. С помощью генератора случайной величины.

Итак, для начала создадим колонку «Люди», где будет количество людей, которые будут участвовать в эксперименте.

Рисунок 1. Количество людей.

Затем задаём начало и конец диапазона, для которого будут производиться дальнейшие вычисления. В ячейках «К1» и «К2» сделаем их формат «Дата». А также зададим время рождения с какого и по какое. И в ячейках «К4» и «К5» запишем это время,

При этом изменим формат ячеек на «Время».

Рисунок 2. Период начала и конца диапазона.

Вслед за этим в колонку «В» запишем «Случайная дата», в колонку «С» запишем «Случайное время». При этом сразу изменим формат ячеек во всех столбцах в «B» на дату, в «C» на время.

Рисунок 3. Создадим нужные нам столбцы.

Для дальнейшей работы, нам необходимо в ячейке «В2» написать формулу в которой определим диапазон случайных дат =СЛУЧМЕЖДУ(ДАТА(1998;12;31);ДАТА(2010;12;31)), как показано на рисунке (4). Затем, как показано на рисунке (5) запишем формулу в случайное вркмя =ВРЕМЯ(СЛУЧМЕЖДУ(1;23);СЛУЧМЕЖДУ(1;59);СЛУЧМЕЖДУ(1;59)), для того чтобы оно определялось автоматически.

Рисунок 4. Задаём случайную дату.

Рисунок 5. Задаём случайное время.

Теперь для продолжения работы необходимо продлить эти формулы до последнего человека.

Рисунок 6. Варианты случайных дат и времени.

После произведённых вычислений. В колонке «Е1» напишем «Родившиеся в заданном диапазоне», показав, что в этой колонке будут те люди, которые удовлетворяют обоим условиям, соответственно, те, которые родились в нужное время и в нужную дату. Затем в ячейке «Е2» запишем формула поиска нужных людей

=СУММПРОИЗВ(((B2:B29 =K1)); ((C2:C29=K4)))

Рисунок 7. Формула поиска людей по заданным условиям.

Затем покажем, какие люди удовлетворяют нашим условиям, это мы сделаем с помощью условий форматирования, как и в прошлом варианте, зададим условие для поиска даты в нужном диапазоне

=И(B2K$2;B2=$K$1). Далее пользуясь всё тем же форматированием, произведём действия с временем, дабы показать кто родился в нужном для нас периоде, это делается по формуле =И(C2=$K$4;C2

Рисунок 8. Люди, подходящие под условия.

Теперь мы видим, что у нас пересекаются цвета, тем самым доказываем, что количество людей, родившихся в заданном диапазоне посчитано, верно.

Рисунок 9. Пример работы программы.

Рисунок 10. Ещё один пример работы программы.

Совпадения между датой и временем, есть и они как раз равны тому значению, которое в заданном диапазоне, соответственно работа программы доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математика является основой организованной жизни на сегодняшний день. Без цифр и математических доказательств мы не сможем решить ни одной проблемы в нашей повседневной жизни. Существуют времена, измерения, ставки, заработная плата, тендеры, скидки, претензии, поставки, рабочие места, акции, контракты, налоги, обмен валюты, потребление и т. Д., И в отсутствие этих спортивных данных нам приходится сталкиваться с путаницей и хаосом.

Таким образом, математика стала спутником человека и его помощником с самого начала существования человека на земле. Когда человек впервые захотел ответить на такие вопросы, как «Сколько?» он изобрел математику. Затем алгебра была изобретена для облегчения вычислений, измерений, анализа и проектирования.

Наука тригонометрия возникла, когда люди захотели определить местонахождение высоких гор и звезд.

Таким образом, знания этой статьи возникли и развивались, когда люди почувствовали необходимость, а математика необходима для долгосрочного планирования жизни, а также для ежедневного планирования любого человека.

Хотя важность математики никогда нельзя отрицать, у учащихся по всему миру существует общий страх иметь дело с математикой.

Сказав это, большинство людей в настоящее время сталкиваются с вычислениями, поскольку считают их слишком сложными для обработки.

Таким образом, студенты различных специальностей могут использовать этот веб-сайт для решения своих задач, связанных с математикой, без каких-либо проблем.

Математическое сближение необходимо для любого процесса, поэтому, если кто-то хочет достичь высот своей жизни, он не должен перестать верить в роль математики в своей жизни, начиная с обычного гражданина. Каждый день проявляет ежедневный интерес к математике.

Математика глубоко связана с природным явлением, способом разгадки многих тайн природы.

Математика необходима для понимания других отраслей знания. Все так или иначе зависят от математики. Нет никакой науки, искусства или специальности, кроме математики, которая была бы ключом к ней. Дисциплина и мастерство любой другой науки или искусства очень сильно связаны с размером математики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Учебники, монографии, брошюры

1. Акаев, А.А. От эпохи Великой дивергенции к эпохе Великой конвергенции: Математическое моделирование и прогнозирование долгосрочного технологического и экономического развития мировой динамики / А.А. Акаев. - М.: Ленанд, 2019. - 352 c.

2. Акопов А.С. Имитационное моделирование: учебник и практикум для академического бакалавриата. – М.: Издательство Юрайт, 2014. - 389 с.;

3. Богомолов Н.В. Математика: Учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2013. - 396 c.

4. В.С. Шипачев Высшая математика. Базовый курс / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2022. - 448 c.

5. В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

6. Голубева, Н.В. Математическое моделирование систем и процессов. Учебное пособие / Н.В. Голубева. - СПб.: Лань, 2016. - 192 c.

7. Голубева, Н.В. Математическое моделирование систем и процессов: Учебное пособие / Н.В. Голубева. - СПб.: Лань, 2013. - 192 c.

8. Горбунов, В.К. Математическое моделирование рыночного спроса: Учебное пособие / В.К. Горбунов. - СПб.: Лань, 2018. - 212 c.

9. Емельянов А.А., Емельянова Н.З. Имитационное моделирование и компьютерный анализ экономических процессов – ПРАКТИКУМ: Учебное пособие. – Смоленск: Универсум, 2014. – 230 с.;

10. Емельянов А.А., Емельянова Н.З. Имитационное моделирование и компьютерный анализ экономических процессов: Учебное пособие. - Смоленск: Универсум, 2013. – 266 с.

11. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Учебное пособие для вузов. –М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. – 282 с.

12. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. – М.: Сов. Радио, 1971 – 386 с.

13. Федоткин, И.М. Математическое моделирование технологических процессов / И.М. Федоткин. - М.: КД Либроком, 2018. - 416 c.

14. Яглом, И.М. Математические структуры и математическое моделирование / И.М. Яглом. - М.: Ленанд, 2018. - 144 c.

Электронные ресурсы

1. Портал «Математическое моделирование»: http://bspu.uni- altai.ru/Student/HTML1/h3.htm

2. Портал «База знаний студента»: https://stud-baza.ru/primenenie- datchikov-sluchaynyih-chisel

3. Портал «Фундаментальные исследования»: https://fundamental- research.ru/ru/article/view

4. Портал «Научная библиотека»: https://scask.ru/f_book_cmk.php

1^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

2^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

3^ Богомолов Н.В. Математика: Учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2013. - 396 c.

4^ Богомолов Н.В. Математика: Учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2013. - 396 c.

5^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

6^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

7^ Богомолов Н.В. Математика: Учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2013. - 396 c.

8^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

9^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

10^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

11^ Богомолов Н.В. Математика: Учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2013. - 396 c.

12^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.

13^ В.С. Шипачев Высшая математика. Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - М.: Юрайт, 2019. - 448 c.