Самостоятельная работа по теме «Аксиомы стереометрии»

Самостоятельная работа по теме «Аксиомы стереометрии»

В а р и а н т 1

1. Пользуясь рисунком, назовите:

а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB;

б) плоскость, в которой лежит прямая MN;

в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASB и SBC.

1. Даны прямая а и точка К, которая не лежит на этой прямой. Через точку К проведены прямые m и l, пересекающие прямую а. Докажите, что прямые a, m, l лежат в одной плоскости.

2. Можно ли провести через середину стороны треугольника прямую, которая не имеет общих точек с другой его стороной? Поясните ответ.

В а р и а н т 3

1. Пользуясь рисунком, назовите:

а) точку пересечения прямой MC с плоскостью BB₁C₁;

б) линию пересечения плоскостей MCC₁ и B₁CB;

в) в каких из плоскостей ADD₁, AB₁B, ABD, MC₁D₁ лежит прямая MD₁?

1. Точки М, Р и N лежат на прямой а. Точка А не лежит на этой прямой. Докажите, что точки А, М, Р и N расположены в одной плоскости.

2. Можно ли провести через середину медианы треугольника прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами? Поясните ответ.

В а р и а н т 2

1. Пользуясь рисунком, назовите:

а) четыре точки, лежащие в плоскости ABС;

б) плоскость, в которой лежит прямая КM;

в) прямую, по которой пересекаются плоскости SAС и CАB.

1. Прямая m пересекает лучи АВ, АС и AD в точках К, Р и Т. Докажите, что точки А, К, Р и Т лежат в одной плоскости.

2. Можно ли провести через точку пересечения диагоналей прямоугольника прямую, которая не имеет с его сторонами общих точек? Поясните ответ.

В а р и а н т 4

1. Пользуясь рисунком, назовите:

а) точку пересечения прямой МD с плоскостью АВC;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости МВС и CЕB;

в) в каких из плоскостей ABD, ЕDC, МBЕ, ACВ не лежит прямая МВ?

1. Прямые k и l пересекаются в точке О. Прямая а пересекает их в точках М и Р, а прямая b – в точках С и D. Докажите, что прямые а и b лежат в одной плоскости.

2. Можно ли провести через середину диагонали квадрата прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами? Поясните ответ.

В а р и а н т 5

1. Пользуясь рисунком, назовите:

а) точку пересечения прямой AD с плоскостью DD₁C;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости ADD₁ и D₁CD;

в) в какой из плоскостей ADD₁, A₁B₁B, BB₁C₁, BCD не лежит точка А?

1. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Докажите, что точка Х лежит в плоскости АВС.

2. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и m? Почему?

В а р и а н т 6

1. Пользуясь рисунком, назовите:

а) точку пересечения прямой ВD с плоскостью АВC;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости AВD и CDB;

в) в какой из плоскостей ABD, BDC, ABC, ACD не лежит точка C?

1. Прямые а и b пересекаются в точке О, . Докажите, что прямые а и b и точка Y лежат в одной плоскости.

2. Даны пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β в точке А. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке В. Докажите, что АВ – линия пересечения плоскостей α и β.