Теорема о вписанном угле.

Тема: Теорема о вписанном угле.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Продолжительность: 40 минут.

Цели урока:

• Образовательные: Ввести понятие вписанного угла, сформулировать и доказать теорему о вписанном угле, рассмотреть следствия из теоремы.

• Развивающие: Развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, обобщать, строить доказательства.

• Воспитательные: Формировать познавательный интерес к геометрии, воспитывать аккуратность и точность при выполнении построений.

Оборудование: Интерактивная доска, проектор, презентация, раздаточный материал (карточки с заданиями).

Ход урока:

I. Организационный момент (2 мин)

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку. Создание доброжелательной атмосферы.

II. Актуализация знаний (7 мин)

Устный опрос:

• Что такое центральный угол?

• Как измерить дугу окружности?

• Какие углы называются смежными? Развернутыми?

• Напомните свойства вертикальных углов.

III. Изучение нового материала (20 мин)

1. Введение понятия вписанного угла.

• Определение: Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

• (Демонстрация на интерактивной доске с помощью презентации).

• Задание: Начертите окружность. Отметьте точку на окружности – вершину вписанного угла. Проведите две хорды, исходящие из этой точки. Получился вписанный угол. Какой угол называется центральным углом, опирающимся на ту же дугу?

2. Формулировка и доказательство теоремы о вписанном угле.

• Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

• Доказательство: (Поэтапное доказательство с использованием интерактивной доски. Рассмотрение трех случаев расположения центра окружности относительно вписанного угла: на одной из сторон; внутри угла; вне угла).

  • Случай 1: Центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла.

  • Случай 2: Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

  • Случай 3: Центр окружности лежит вне вписанного угла.

3. Следствия из теоремы.

• Следствие 1: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

• Следствие 2: Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

IV. Закрепление изученного материала (9 мин)

1. Решение задач у доски и в тетрадях:

   • Задача 1: Найдите вписанный угол, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 70°.

   • Задача 2: Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен 120°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

   • Задача 3: Вписанный угол равен 30°. Найдите центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

2. Работа с карточками.

Задача 1:

На окружности с центром O отмечены точки A, B и C. Центральный угол ∠AOC равен 110∘. Найдите величину вписанного угла ∠ABC.

Задача 2:

Вписанный угол ∠PQR, опирающийся на дугу PR, равен 35∘. Найдите величину центрального угла ∠POR, опирающегося на ту же дугу.

Задача 3:

Дан вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности. Найдите величину этого угла. Обоснуйте свой ответ, используя следствие из теоремы о вписанном угле.

Задача 4:

На окружности точки A,B,C и D расположены в таком порядке. Известно, что угол ∠ADB=40∘, а угол ∠BDC=50∘. Найдите величины углов ∠ACB и ∠ACD.

Задача 5:

В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке E. Угол ∠CAE=25∘, а угол ∠ACD=65∘. Найдите величину угла ∠CEB.

V. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин)

• Что нового вы узнали сегодня на уроке?

• Сформулируйте теорему о вписанном угле.

• Какие следствия из нее вы запомнили?

• Оцените свою работу на уроке.

VI. Домашнее задание (0 мин – объявляется на следующем уроке)

• П. 80, № 766.