Теоретический материал по теме " Векторы в пространстве".

Векторы: основные определения и понятия

Определение

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина,площадь, масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок ; точка  - начало, точка  - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом:  либо одной малой буквой: .

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора  и  называются сонаправленными, если их направления совпадают: (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора  и  называются противоположно направленными, если их направления противоположны:  (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора  называется расстояние между его началом и концом: 

Подробная теория про длину вектора по ссылке.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

 , если 

В произвольной точке  пространства можно построить единственный вектор , равный заданному вектору .

Операции над векторами

Определение

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение и вычитание векторов

Определение

Сложение векторов  и  осуществляется по правилу треугольника.

Суммой  двух векторов  и  называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом  при условии, что конец вектора  и начало вектора  совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора  и  привести к общему началу, то вектор  совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 2). Причем начало вектора  совпадает с началом заданных векторов.

Определение

Вектор  называется противоположным вектором к вектору , если он коллинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору .

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1.  - коммутативность

2.  - ассоциативность

3. 

4. 

Определение

Разностью  векторов  и  называется вектор  такой, что выполняется условие:  (рис. 3).

Умножение вектора на число

Определение

Произведением  вектора  на число  называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. 

2. 

3. , если , , если .

Разложение вектора на составляющие

Для двух коллинеарных векторов  и  всегда имеет место соотношение: , где  - некоторое ненулевое число.

Если ввести в рассмотрение единичный вектор (или орт)  , длина которого равна единице:  и который коллинеарен вектору , то последний можно представить в виде: 

Произвольный вектор  можно представить в виде: , где ,  - произвольные числа, а тройка векторов , и  компланарна (рис. 1).

Определение

Представление  называется разложением вектора  по компонентам  и . Если векторы  и  не коллинеарны, то приведенное представление единственно.

Для трех попарно неколлинеарных векторов ,  и  и произвольного вектора  существует единственное разложение:

Проекция вектора на ось

Пусть задан вектор  и некоторая ось  с единичным вектором . Точки  и  - проекции точек  и  на ось соответственно.

Определение

Проекцией вектора  на ось  называется длина отрезка , взятая со знаком "+", если направление  совпадает с направлением вектора , и со знаком "-", если направление противоположно направлению единичного вектора оси  (рис. 1).

Проекция вектора  на ось  обозначается символом .

Свойства проекции векторов

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор  и его проекция - вектор  - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора  на некоторую ось  равна проекции на эту же ось вектора , умноженного на число :

Проекция вектора  на ось  равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :

Правая и левая тройки векторов

Определение

Три некомпланарных вектора ,  и , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов ,  и  называется левой, если поворот от вектора  к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).

Тройка векторов ,  и  называется правой, если поворот от вектора  к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

Координаты вектора. Направляющие косинусы

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК)  и произвольный вектор , начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Определение

Координатами вектора  называются проекции  и  данного вектора на оси  и соответственно:

Величина  называется абсциссой вектора , а число  - его ординатой. То, что вектор  имеет координаты  и , записывается следующим образом: .

Пример

Запись  означает, что вектор  имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы  и , тогда вектор  имеет координаты  (рис. 2).

Определение

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Пример

Задание. Заданы  и . Найти координаты вектора 

Решение. 

Умножение вектора на число

Если задан , то тогда вектор  имеет координаты , здесь  - некоторое число (рис. 3).

Определение

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Пример

Задание. Вектор . Найти координаты вектора 

Решение. 

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки  и . Тогда координаты вектора  находятся по формулам (рис. 4):

Определение

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример

Задание. Найти координаты вектора , если 

Решение. 

Направляющие косинусы

Определение

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Здесь ,  и  - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей ,  и  соответственно.

Основное свойство направляющих косинусов

Определение

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

1

Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора, то его координаты могут быть найдены по формулам:

Длина (модуль) вектора

Определение

Длиной (модулем) вектора  называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом, то есть длина вектора - это длина отрезка . Длина  обозначается 

Длина нулевого вектора  равна нулю. Длина единичного вектора  равна единице.

Если вектор задан своими координатами: , то его длина находится по формуле:

1

Определение

Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Пример

Задание. Найти длину 

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора  и . Приведем их к общему началу, для этого отложим от некоторой точки  векторы  и , равные соответственно заданным векторам  и  (рис. 1).

Определение

Углом между векторами  и  называется угол .

Угол между сонаправленными векторами равен 0°, а между противоположно направленными - 180°.

Определение

Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Угол между двумя векторами ,  заданными своими координатами, вычисляется по формуле:

Пример

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами  и .

Решение. Косинус искомого угла:

Пример

Задание. Найти угол между векторами  и 

Решение. Косинус искомого угла:

Разложение вектора по ортам координатных осей

Определение

Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат.

Орт координатной оси  обозначается через , оси  - через , оси  - через  (рис. 1).

Для любого вектора  , который лежит в плоскости  , имеет место следующее разложение:

Если вектор  расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: 

Пример

Задание. Зная разложение  по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что 

Пример

Задание. Вектор  задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:

Скалярное произведение векторов

Определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов  и  , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Если хотя бы один из векторов  или  равен нулевому вектору, то .

Свойства скалярного произведения:

1°     - симметричность.

2°    . Обозначается  и называется скалярный квадрат.

3°    Если , то 

4°    Если  и  и , то . Верно и обратное утверждение.

5°    

6°    

7°    

Если векторы  и  заданы своими координатами: ,  , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

1

Определение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов  и 

Решение. Скалярное произведение

Длина вектора

Длина вектора , заданного своими координатами, находится по формуле:

Определение

Длина (модуль) вектора, координаты которого известны, равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Пример

Задание. Найти длину вектора 

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Угол между двумя векторами , :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Пример

Задание. Найти угол между векторами  и 

Решение. Косинус искомого угла

Векторное произведение векторов

Определение

Векторным произведением ненулевых векторов  и  называется вектор , обозначаемый символом  или , длина которого  (рис. 1).

Свойства векторного произведения:

1°    , тогда и только тогда, когда 

2°    

3°    Модуль векторного произведения  равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах  и (рис. 2), т.е.

4°    

5°    

Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение находится по формуле:

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов  и 

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанное произведение векторов

Определение

Смешанным произведением трех векторов , ,  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор : 

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов  правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки  смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если ,  и  компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и  равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы ,  и образуют левую тройку векторов.

5°    

6°    

7°    

8°    

9°    

10°    Тождество Якоби: 

Если векторы ,  и  заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , , 

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов ,  и :

Действия над векторами. Свойства векторов.

В данной теме мы подытожим раздел векторы, опишем все действия, которые можно совершать над векторами и какими свойствами они обладают.

Действия над векторами

Определение

Вектором называется направленный отрезок  , где точка  - начало, точка  - конец вектора.

Суммой  векторов  и  называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом  при условии, что конец вектора  и начало вектора  совпадают.

Свойства операции сложения:

1°     - коммутативность

2°     - ассоциативность

3°    

4°    

Определение

Разностью  векторов  и  называется вектор  такой, что выполняется условие: .

Произведением  вектора  на число  называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. 

2. 

3. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

1°    

2°    

3°    

4°    

5°    

6°    

Определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

1°     - симметричность.

2°    . Обозначается  и называется скалярный квадрат.

3°    Если , то 

4°    Если  и  и , то . Верно и обратное утверждение.

5°    

6°    

7°    

Определение

Векторным произведением ненулевых векторов  и  называется вектор , обозначаемый символом  или , длина которого .

Свойства векторного произведения:

1°    , тогда и только тогда, когда 

2°    

3°    Модуль векторного произведения  равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах  и (рис. 2), т.е.

4°    

5°    

Определение

Смешанным произведением трех векторов , ,  называется число, равное скалярному произведениювектора  на вектор : 

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы ,  и образуют левую тройку векторов.

5°    

6°    

7°    

8°    

9°    

10°    Тождество Якоби: 

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме - координаты вектора.

Пример

Запись  означает, что вектор  имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Пример

Задание. Заданы векторы  и . Найти координаты вектора 

Решение. 

Пример

Задание. Вектор . Найти координаты вектора 

Решение. 

Пример

Задание. Найти координаты вектора , если 

Решение. 

Длина (модуль) вектора

Теоретический материал по теме - длина вектора.

Пример

Задание. Найти длину вектора 

Решение. Используя формулу, получаем:

Пример

Задание. Найти длину вектора 

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Теоретический материал по теме - угол между векторами.

Пример

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами  и .

Решение. Косинус искомого угла:

Пример

Задание. Найти угол между векторами  и 

Решение. Косинус искомого угла

Пример

Задание. Найти угол между векторами  и 

Решение. Косинус искомого угла:

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме - разложение вектора по ортам.

Пример

Задание. Зная разложения вектора  по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что 

Пример

Задание. Вектор  задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме - скалярное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов  и  , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов  и 

Решение. Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме - векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов  и 

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме - смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , , 

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов ,  и :