Уравнение касательной в общем виде

Практическое занятие

Уравнение касательной в общем виде.

Производная: механический и геометрический смысл производной.

1) Теоретический этап

Опорный конспект.

 Уравнение касательной: y  =  f ( ) +  f '( ) · ( x –  )

Алгоритм нахождения уравнения касательной:

1) Вычислить f( )

2) Найти производную функции f ′(x)

3) Вычислить f ′( )

4) Внести числа , f( ), f ′( ) в уравнение касательной и упростить его.

Физический (механический) смысл производной – это скорость изменения расстояния:

s'(t) = v(t)

Геометрический смысл: f '(х_о) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох

f '(х_о) = k = tg α

2) Подготовительный этап. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дана функция  f (x) = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке   = 2.
Решение: Уравнение касательной:  y  =  f ( ) +  f '( ) · ( x –  ). Точка   = 2 нам дана, а вот значения f ( ) и f ^ ( ) придется вычислять.

1) f ( ) = f (2) = 2³ = …
2)  f  ^(x) = (x³) ^ = 3x²
3)  f  ^( ) = f  ^(2) = 3 · 2² = 3 4 = …
4)  y = 8+ 12 · (x − 2) = 8 + …x − 24 = 12x − 16

y = 12x − 16

Ответ: y = 12x − 16. 
Пример 2. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5  в точке  =  .

Решение: y  =  f ( ) +  f '( ) · ( x –  )

1) f ( ) = f ( ) = 2sin ( ) + 5 = 2 + 5 = …

2) f   (x) = (2sin x + 5)  = 2cos x
3) f  ( ) = f  ( ) = 2cos ( ) = 0

4) y = 7 + 0 · (x −  ) ;  y = ...

Ответ: y = 7.

Пример 3. Составьте уравнение касательной к графику функции  f(x) = х³ – 4х + 1  

в точке M(3; – 2).

Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, значит = 3

y  =  f ( ) +  f '( ) · ( x –  )

1) f(3) = · 3³ – 4 · 3 + 1 = 9 – 12 + 1 = 10 – 12 = …  

2) f '(x) = x² – 4

3) f '(3) = 9 4 = …
4) y = – 2 + 5(x – 3), y = …x – 17

Ответ: y = 5x – 17.

Пример 4. Напишите уравнения всех касательных к графику функции f(x) = x³ – 3x² + 3, параллельных прямой f(x) = 9x + 1.

Решение: прямые параллельны, если k₁ = k_2.

Из формулы f(x) = 9x + 1: k₁ = 9, а k₂ =  f '(x₀)

 f '(x) = 3x² – 6x, f '(x₀) = 3  – 6x₀

Значит, надо решить уравнение 3  – 6 = 9; 3  – 6 9 = 0,

D = ( 6)² 4 3 ( ) = 36 108 = …, = = = …, = = = …,

= – 1, = 3

 1случай:  x = – 1;

1) f(x₀) = f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …

2) f '(x) = 3x² – 6x 

3) f '(x₀) = f '(– 1) = 3 + 6 = …;

4) y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной;

2случай: x = 3; 

1) f(x₀) = f(3) = 27–27 + 3 = …;

2) f '(x) = 3x² – 6x 

3) f '(x₀) = f '(3) = 27 – 18 = …;
4) y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Ответ: y = 9x + 8 и y = 9x – 24.

Пример 5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = 0,5x² – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой f(x) = 0 (рис. 4).

Решение: Из условия f '(a) = tg 45° = 1, f '(х) = 0,5 · 2x – 3 = x – 3

f '(a) = a – 3 ; найдем a:   a – 3 = 1, a = 3 + 1 = ...

a = 4 – абсцисса точки касания, т.е. = 4.

1) f(4) = 8 – 12 + 1 = ...

2) f '(х) = х – 3

3) f '(4) = 4 – 3 = ...
4)  y = – 3 + 1(x – 4); y = x – 7 – уравнение касательной.

Ответ: y = x – 7.

3) Практический этап

1. Дана функция  y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке  = 1.

2. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5  в точке   =  .

3. Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = х³ – 4х + 2   в точке M(3; – 1).

4. Напишите уравнения всех касательных к графику функции f(x) = x³ – 3x² + 3, параллельных

прямой f(x) = 24x + 1.

1. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x² – 5x + 1, проходящей под углом 45° к прямой f(x) = 0 .