Урок геометрии в 11 классе по теме "Вычисление углов между прямой и плоскостями"

Урок в 11 классе по теме: Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Учитель: Лаврова И.В.

Цели

обучающие: формировать навыки решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью;

развивающие: учить проводить доказательные рассуждения, используя математическую речь, развивать самоконтроль и творчество учеников.

Формы работы: индивидуальная и в малых группах, частично – поисковый метод.

Вы научились находить углы между прямыми в пространстве, а сегодня мы научимся вычислять углы между прямой и плоскостью.

Актуализация. Повторение алгоритма решения задач.

Алгоритм решения задач:

1. Ввести прямоугольную систему координат.

2. Записать координаты всех точек.

3.Использовать алгоритм нахождения угла между прямыми в пространстве.

Р ешение задач (по готовым чертежам)

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб.

Вычислить cos .

1. B (0; 0; 0), A (a; 0; 0), C (...; ...; ...), A₁ (...; ...; ...), C₁ (...; ...; ...)

2. = a; {0; 0; a}.

= ... = a√3 ; {–a; a; a}.

1. 4. cos α = .

Эту задачу можно решить и традиционным способом рассмотрев Δ AA₁C₁: AA₁ = a, AC₁ = a√3, A₁C₁ = a√2

Cosα=

Определение. Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим этот угол за ֻ. А угол между направляющим вектором и вектором, перпендикулярным к плоскости обозначим за .

Прямую и плоскость задают направляющий вектор прямой и вектор, перпендикулярный к плоскости .

Решение задач.

Алгоритм решения задач:

1. Ввести прямоугольную систему координат.

2. Записать координаты всех точек.

3. Использовать алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью.

Задача 1. АВСД-тетраэдр, угол АВС=углу АВД=углу ДВС=90º, АВ=ВД=2, ВС=1.

Вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины ребер АД и ВС, и плоскостью, а) АВД, б) ДВС, в) АВС.

Решение: По условию рёбра ВА, ВД и ВС взаимно перпендикулярны. Поэтому можно изобразить прямоугольную систему координат так, чтобы точка В совпала с точкой начала координат.

Сначала разберёмся с прямой. Она проходит через середины рёбер АД и ВС, пусть это будут точки Х и У. И для вычисления синуса угла нужно знать координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора можно взять вектор ХУ.

Учащиеся определяют по формулам координат середы отрезков, координаты точек

Х (1;0;1) и У (0; 0,5;0), вычисляют по формуле координаты вектора

Также для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью необходимо знать координаты нормального вектора к плоскости, то есть перпендикулярного к ней.

Задача 2.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, АВ=АА₁=1, АД=2, Е- середина В₁С₁. Найти угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ₁С.

Учащиеся находят координаты вектора ВЕ (0;1;1)

Записывают координаты точек А(0;1;1), В₁(0;0;1), С(0; 2;0), составляют уравнение плоскости АВ₁С: 2х+у+2z-2=0, значит вектор нормали n(2;1;2)

х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂=0∙2+1∙1+1∙2=3, вычисляя длины векторов ВЕ и n, подставляя в формулу

, тогда угол равен 45°.

Д/з

Решить задачи 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, АВ=2, ВС=4, ВВ₁=6, Е- середина СД. Найти угол между прямыми С₁Е и А₁Д.

1.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью A₁BC и прямой BC₁, если AA₁ = 8, AB = 6, BC = 15.

(Ответ: arcsin 24/85 )

Обсуждаем, как лучше выбрать систему координат- удобней взять А(0;0;0)

Рефлексия урока.

1. Какими способами можно решать задачу №14 ЕГЭ на нахождение угла между прямой и плоскостью?

2. Какой способ для вас кажется понятнее?

3. Посмотрите на задачи д/з и выберите ответ на вопрос:

- Я могу сам решить домашние задачи

- Я смогу помочь товарищу объяснить решение задач

- Мне необходима помощь при решении домашних задач.

Дополнительные задачи (решим на факультативе)

1.В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√11, SB=3√3, Sd=2√5

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Ответ: 30°

2.В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁, у ко­то­ро­го AA₁ = 4, A₁D₁ = 6, C₁D₁ = 6, най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью ADD₁ и пря­мой EF, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер AB и B₁C₁.

Ответ: 0,6

1. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP.

Ответ: arcsin √6/6