Векторы в пространстве и их свойства

Векторы в пространстве и их свойства

Основные понятия и операции с векторами для анализа пространственных отношений.

Вектор в пространстве: основные характеристики

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется вектором.

Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называют нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого–либо направления.

2

Нулевые векторы

На рис. 2 – ненулевые векторы

a ,b и c, имеющие общее начало.

Нулевой вектор обозначается также символом 0

На рисунке 1.

изображены ненулевые векторы

AB и CD и нулевой вектор TT.

3

Длина (модуль) ненулевого вектора

Длиной (модулем) ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина вектора AB (вектора a) обозначается так: |AB| (|a|). Длина нулевого вектора считается равной нулю: |0|=0.

Классификация и основные определения векторов

Сонаправленность и противоположное направление

Коллинеарность векторов

Нулевой и ненулевой векторы

Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором.

При этом нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два ненулевых вектора считаются коллинеарными, если лежат на одной прямой или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, что расширяет возможности его использования.

Коллинеарные векторы бывают сонаправленными, если направления совпадают, и противоположно направленными — при противоположных направлениях. Обозначения ↑↑ и ↑↓ помогают быстро выявлять эти отношения.

• Два коллинеарных вектора называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают.
• Сонаправленность векторов обозначают таким символом: ↑↑.
• Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором .
• На рисунке : a⃗ ↑ ↑ ⃗c , ⃗0↑↑ ⃗a , ⃗0 ↑↑ ⃗b, ⃗0↑↑ c⃗.
• Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны. Обозначение: ↑ ↓.

6

Равенство векторов.

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны .

На рисунке ⃗AE=⃗DK, так как ⃗AE ↑↑⃗DK и |⃗AE|=|⃗DK|, а ⃗AB ≠⃗DC, так как ⃗AB ↑↓⃗DC.

Если точка A – начало вектора a⃗, то говорят, что вектор a⃗ отложен от точки A.

Нетрудно доказать, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

В самом деле, пусть a⃗ – данный вектор, M – данная точка.

5

Равенство векторов

Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину — это основа сравнения в пространстве.

Отложение вектора от любой точки показывает, что для заданного начала существует только один равный вектор.

Таким образом, равенство векторов определяется совпадением направления и длины, независимо от позиции в пространстве.

4

Сложение векторов: правило треугольника

Под действием воздушных масс воздушный шар сначала двигался из точки A в точку B, а затем из точки B переместился в точку C.

Каждое из этих двух перемещений можно представить в виде вектора ⃗AB и ⃗BC.

Но можно ведь сказать, что в результате воздушный шар из точки A попал в точку C.

И это перемещение задает вектор ⃗AC.

Так как перемещение из точки A в C складывается из перемещений из точки A в B и из B в C, то можно записать, что вектор ⃗AC=⃗AB+ ⃗BC.

Этот пример подводит нас к понятию суммы двух векторов.

5

Сложение векторов: правило параллелограмма

Использование правила параллелограмма

Для сложения двух неколлинеарных векторов применяется правило параллелограмма: сумма — диагональ построенного параллелограмма. Это визуально и геометрически наглядно.

Свойства сложения векторов

Сложение векторов подчиняется переместительному и сочетательному законам, что справедливо для любых трех векторов и обеспечивает гибкость операций.

6

Рассмотрим два ненулевых вектора: a⃗ и ⃗b.

Отметим произвольную точку A и отложим от неё вектор ⃗AB, равный вектору a⃗.

Затем от точки B отложим вектор ⃗BC, равный вектору ⃗b.

Вектор ⃗AC называется суммой векторов a⃗ и b⃗: ⃗AC=a⃗ + b⃗

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника . Рисунок поясняет это название.

Отметим, что по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении и не получается треугольника.

Рисунок иллюстрирует сложение коллинеарных векторов.

Нужно отметить, что сумма векторов a⃗ и ⃗b не зависит от выбора точки A, от которой при сложении откладывается вектор a⃗ . Иными словами, если при сложении векторов a⃗ и ⃗b по правилу треугольника точку A заменить другой точкой A1, то вектор ⃗AC заменится равным ему вектором ⃗A1C1 .

Правило треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек A,B и C имеет место равенство

AB+⃗BC=⃗AC.

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться также правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии. Это правило пояснено на рисунке.

Свойства сложения векторов, изученные в планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве.

Для любых векторов a⃗ , ⃗b и c⃗ справедливы равенства:

a⃗+⃗b=⃗b+⃗a (переместительный закон);

( ⃗a+⃗b)+⃗c=⃗a+( ⃗b+c⃗ ) (сочетательный закон).

Вычитание и противоположные векторы

.

Противоположные векторы имеют равную длину, но направления противоположны, что важно для построения и вычислений.

Вычитание векторов сведено к сложению с противоположным вектором, облегчая операции и анализ.

Нулевой вектор является собственной противоположностью, сохраняет нейтральное положение при вычитании.

Вектор, противоположный заданному, обозначается с помощью отрицательного множителя, что упрощает алгебраические выражения.

Примеры умножения векторов на числа

Парусник и скорость

Лайнеры с различными скоростями

Парусник движется со скоростью, представленной вектором. Его скорость умножают на 1, показывая сохранение направления и длины без изменений векторного представления.

Один лайнер движется в пять раз быстрее парусника, направление совпадает — вектор умножается на +5. Другой лайнер движется навстречу с такой же скоростью — вектор умножается на -5, меняя направление.

9

Компланарные векторы и их разложение

Теорема о разложении

Пример с параллелепипедом

Векторы, лежащие в гранях параллелепипеда, демонстрируют наглядный пример компланарности и её геометрическую интерпретацию.

Любой вектор раскладывается по трём некомпланарным векторам единственным образом, что обеспечивает полноту представления в пространстве.

Определение компланарности

Разложение по двум векторам

Векторы называются компланарными, если лежат в одной плоскости после откладывания от одной точки.

Если вектор можно выразить как линейную комбинацию двух неколлинеарных компланарных векторов, то он принадлежит их плоскости.

10

Для любых векторов a⃗ , ⃗b и любых чисел k ,l справедливы равенства:

( kl) ⃗a=k (l ⃗a) (сочетательный закон);

k ( ⃗a+⃗b)=k ⃗a+k ⃗b (первый распределительный закон);

( k+l) a⃗=k ⃗a+l ⃗a (второй распределительный закон).

11

Разложение вектора по направлениям

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Векторы ⃗BB1 ,⃗OD и ⃗OE компланарны, так как если отложить от точки O вектор, равный ⃗BB1 , то получится вектор ⃗OC, а векторы ⃗OC ,⃗OD и ⃗OE лежат в одной плоскости OCE. Векторы ⃗OA ,⃗OB и ⃗OC не компланарны, так как вектор ⃗OC не лежит в плоскости OAB. Рассмотрим признак компланарности трех векторов.

Если вектор c⃗ можно разложить по векторам a⃗ и ⃗b, т. е. представить в виде c⃗=x ⃗a+ y b⃗, (1)

где x и y – некоторые числа, то векторы a⃗ , ⃗b и c⃗ компланарны.

Справедливо и обратное утверждение: если векторы a⃗ , ⃗b и c⃗ компланарны, а векторы a⃗ и ⃗b не коллинеарны, то вектор c⃗ можно разложить по векторам a⃗ и ⃗b (т. е. представить в виде (1)), причем коэффициент разложения (т. е. числа x и y в формуле (1)) определяются единственным образом.

11

Примеры углов между векторами и взаимное расположение

Углы 30° и 60° в пространстве

Перпендикулярные и противоположно направленные векторы

Пример с векторами, образующими углы 30° и 60°, демонстрирует различные степени наклона и сонаправленности. Такие углы часто встречаются в геометрических построениях и механике.

Векторы, образующие прямой угол (90°), называются перпендикулярными, что указывает на их ортогональность. Угол 180° характеризует полностью противоположное направление, важное для анализа сил и движений.

13

Проекция вектора на ось

Проекцией вектора ⃗AB на ось l называется число, равное величине отрезка A1B1 оси l, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось l.

Чтобы построить проекцию вектора ⃗AB на ось l, нужно из точек A и B (начало и конец вектора ⃗AB соответственно) опустить перпендикуляры на направленную прямую l, основания этих перпендикуляров будут началом и концом искомой проекции.

Координаты вектора в прямоугольной системе координат

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через ⃗i единичный вектор оси абсцисс, через ⃗j - единичный вектор оси ординат и через ⃗k - единичный вектор оси аппликат.

Разложение вектора по координатам

Любой вектор можно представить как линейную комбинацию, где коэффициенты называются координатами вектора и определяются однозначно.

15

Векторы ⃗i,⃗j, ⃗k назовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор a⃗ можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде a⃗=x ⃗i+ y ⃗j+z ⃗k, причём коэффициенты разложения x , y и z определяются единственным образом. Коэффициенты x , y и z в разложении вектора a⃗ по координатным векторам называются координатами вектора a⃗ в данной системе координат . Координаты вектора a⃗ будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: a⃗ {x ; y ;z}.

Примеры координат векторов в пространстве

Таблица демонстрирует координаты нескольких векторов и их связь с графическим изображением на примере параллелепипеда. Равные векторы имеют идентичные координаты.

Равенство координат соответствует равенству векторов, что подтверждает уникальность их представления в системе координат.

Учебные геометрические примеры

16

Графическое представление операций с векторами по координатам

Графики показывают, как меняются координаты векторов при сложении, вычитании и умножении, демонстрируя наглядную связь между алгебраическими и геометрическими операциями.

Визуализация помогает понять, как операции с координатами отражаются на геометрическом положении векторов в пространстве.

Учебные материалы по векторной алгебре

18

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2 . Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число

Скалярное произведение векторов: определение и формула

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их модулей на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗ обозначается так: a⃗ b⃗ . Таким образом, a⃗ b⃗=|⃗a|·|⃗b|cos ^ (a⃗ b⃗ ).

скалярное произведение векторов

Это позволяет проводить вычисления в пространственных задачах, связывая геометрические понятия с арифметическими операциями.

a⃗ {x1 ; y1 ;z1 } и b⃗ { x2 ; y2 ;z2 }

выражается формулой

a⃗ ⃗b=x1 x2+ y1 y2+z1 z2 .

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение любого вектора с самим собой неотрицательно и равно нулю только для нулевого вектора, что связано с длиной вектора.

Нулевое скалярное произведение указывает на перпендикулярность векторов, что важно при анализе углов и взаимного расположения в пространстве.

20

Примеры вычисления скалярного произведения

Таблица демонстрирует координаты пар векторов, вычисленные скалярные произведения и соответствующие углы между ними, отражая перпендикулярность или направление.

Скалярное произведение нулю соответствует перпендикулярности, положительное значение — сонаправленности, угол отражает взаимное расположение векторов.

Учебный пример из стереометрии

21

Примеры применения скалярного произведения в задачах

Вычисление площади треугольника

Расчёт расстояний и периметров

Нахождение угла между прямыми

Скалярное произведение используют для вычисления углов между прямыми в пространстве. Например, определяется угол между линиями движения объектов, что важно при анализе траектории и ориентации.

Через скалярное произведение вычисляют длины проекций и периметры фигур. Это применяется для оценки расстояний между точками и вычисления периметров многогранников и треугольников.

С помощью векторных методов и скалярного произведения рассчитывают площадь треугольника, используя формулы, основанные на длинах векторов и углах между ними. Графики иллюстрируют результаты.

23

Коллинеарность и компланарность векторов: практические задачи

Проверка коллинеарности векторов осуществляется с помощью отношений координат; коллинеарны векторы, если существует число k такое, что один вектор равен k умноженному на другой.

Для проверки компланарности трёх векторов составляют уравнение разложения одного вектора через два других. Если данное уравнение разрешимо и векторы независимы, они компланарны.

Практические задачи используют эти методы для определения плоскостей расположения объектов и направления векторов в 3D пространстве, позволяя оценить пространственное распределение.

24

Геометрические построения и вычисления в пространстве

Рассматривая куб и параллелепипед, строят векторы, суммы и проекции на оси, что помогает визуально понять объёмные отношения и элементы фигур.

Построения включают вычисление углов между векторами в пространстве, использование координатных систем и разложение векторов для точного определения взаимного расположения элементов.

25

График зависимости углов между векторами от их координат

График демонстрирует, как изменение координат векторов влияет на величину угла, визуализируя взаимосвязь.

Данные показывают четкую тенденцию: совпадение координат ведёт к нулевому углу, а ортогональность — к 90 градусам.

Учебные экспериментальные данные, 2024

26

Сравнение характеристик нескольких векторов

Таблица содержит длины, координаты, углы и скалярные произведения для сравнения и анализа взаимного положения векторов.

Сравнение позволяет выявить направления и взаимное расположение векторов, указывая на их коллинеарность и взаимное ортогональное положение.

Учебный пример

27

Значение изучения векторов в пространстве

Векторы — ключевые инструменты для описания физических величин с направлением, таких как силы и скорости, что широко применяется в инженерии и физике.

Они позволяют моделировать движения и взаимодействия в трёхмерном пространстве, что важно для анализа динамики и проектирования технических систем.

Изучение векторов обеспечивает фундамент для аналитической геометрии и механики, расширяя возможности решения сложных пространственных задач.

28

Итоги и основные формулы по теме

Основные определения и операции

Вектор — направленный отрезок с началом и концом. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника, умножение на число меняет длину и направление.

Ключевые формулы и обозначения

Скалярное произведение вычисляется через длины и косинус угла: a·b = |a||b|cosα, либо по координатам: x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂, что позволяет найти угол между векторами.

29

Заключение: Значимость и функции векторов в пространстве

Векторы являются основой стереометрии, позволяя анализировать пространственные отношения и выполнять необходимые вычисления с точностью и строгостью для различных прикладных задач.