Задачи с параметрами в курсе школы

С.У. Зверяка

Обособленное подразделение «МПК ЛГПУ»,

Луганск, Луганская Народная Республика

Задачи с параметрами в курсе школы

В повседневной жизни мы очень часто сталкиваемся с понятием параметра: параметр загрузки в Windows 10, параметры бытовых приборов, параметры автомобиля. Толковый словарь определяет параметр как величину, характеризующую какое-нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса [5].

Но в математике понятие «параметр» несколько отличается от обычного, с чем и предстоит в дальнейшем разобраться, тем более, что в школе (колледже) данная тема программой не предусмотрена.

Знакомство с математическим параметром

Основной принцип решения параметрических уравнений можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра в каждом из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же методом. Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра, используемые для этого приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с постоянными коэффициентами. Поскольку каждый из методов представляет собой последовательность определенных действий, которые могут выполняться по-разному в зависимости от значений параметра, то выбранные первоначально участки его изменения в процессе решения могут дробиться с тем, чтобы на каждом из них рассуждения проводились единообразно. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого участка всех корней уравнения.

Пусть дано уравнение (неравенство) :

Если поставлено задание найти все такие пары , которые отвечают требованиям данного уравнения (неравенства), то такие такие выражения будут являться уравнениями (неравенствами) с двумя параметрами x и a. Но может и другое задание – найти только x при фиксированном а. Решением таких уравнений (неравенств) будет определяться выбранными значениями а, который будет называться параметром, а множество А – областью изменения параметра.

При этом данная область определяется множеством действительных чисел (если другого условия не поставлено), а задача решения уравнений (неравенств) с параметром заключается в нахождении семейства уравнений (неравенств) при всех действительных значениях параметра.

В работе будут рассмотрены аналитические и графические решения задач [1;3;6].

Аналитический подход

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

: ;

Рассмотрим следующие случаи:

1) :

; ; ;

;

Учитывая область определения , получим окончательное решение для : .

2) :

Разделим числитель и знаменатель левой части уравнения на :

Пусть , тогда:

; ;

;

Возвращаемся к проведенной замене:

При у уравнения нет решений:

;

так как при нет решений.

Рассмотрим теперь другой случай: или .

Очевидно, что . Поэтому, учитывая , имеем:

Если , то то это неравенство выполняться не может. Если , то:

;

;

;

Так как , то условие можно не учитывать.

Ответ: При или или :

При решений нет;

при : .

Графический способ

Пример 2. При каких значениях уравнение

имеет три корня?

Решение:

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

В координатной плоскости построим все графики полученных функцій:

Горизонтальные прямые по условию должны иметь три точки пересечения с графиками. Таких прямых две: одна пересекает вершину параболы, отсюда , другая – вершину «уголка», где .

Ответ: .

СПИСОК

ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени / В.И. Горбачев// Математика в школе – 2000. - №2. – С. 61-68.

2. Епифанова, Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами / Т.Н. Епифанова// Математика в школе – 2003. - №7. – С. 17-20.

3. Здоровенко, М.Ю. Учимся решать задачи с параметрами: рациональные уравнения и неравенства./ М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов – Киров, 1999.

4. Кочерова, К.С. Об уравнениях с параметром и модулем (графический способ решения) / К.С. Кочерова// Математика в школе – 1995. - №2. – С. 2-4.

5. Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. Москва. 1999.

6. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1986.

7