Исследовательская работа " Вычисление объёмов"

Предлагаю исследовательскую работу своих учеников. Работа заняла первое место на школьной научно - практической конференции "Первые шаги в науку"

Оглавление

1. Введение
2. Теоретическая часть
3. Практическая часть
4. Заключение и выводы
5. Информационные источники.

Введение

В пятом классе на уроках математики мы познакомились с понятием объёма тела и научились вычислять объём прямоугольного параллелепипеда. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется очень просто: нужно измерить его ширину, длину, высоту и перемножить их.

А как измерить или вычислить объём тела другой формы?

Всегда ли можно измерить объем любого тела?

Как давно появились формулы для нахождения объёма и кто первым открыл их?

Зачем человеку нужно уметь измерять и вычислять объемы тел на практике?

В каких единицах можно рассчитать объем?

Где мы можем применить свои знания об объёмах?

На все эти вопросы мы решили ответить.

Цель работы:

- узнать формулы для вычисления различных геометрических тел, научиться ими пользоваться при вычислении объёмов;

- узнать исторические сведения об объёмах тел;

- найти методы измерения и вычисления объемов нестандартных тел в повседневной жизни.

Теоретическая часть

Все тела, которые нас окружают, имеют объём. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с телами разных форм и объемов. Например, мы говорим, что ведро вмещает в себя 10 литров воды. Это означает, что объем ведра - 10 литров. Другой пример: на строительство садового домика понадобилось 20 кубометров (или кубических метров) древесины. Как видно, в этих примерах объемы выражаются определенными числами, но в разных единицах - в одном случае в литрах, в другом - в кубических метрах. В разных единицах объем одного и того же тела выражается разными числами.

Так что же такое объём?

Во первых мы нашли в энциклопедии определение объёма тел.

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п.

В формулах для обозначения объёма используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от латинского volume — «объём», «наполнение».

За единицу измерения объема принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков.

Объёмы обладают следующими свойствами:

1. Объем тела есть неотрицательное число;

2. Равные тела имеют равные объемы;

3. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Согласно третьему свойству, чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения. Но такой способ измерения объёмов неудобен, поэтому применяют формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда

V=a·b·c

Формулы для вычисления других геометрических тел немного сложнее.

Мы нашли их в учебнике геометрии 11класса и с их помощью вычислили объёмы мяча, конуса, шестигранной пирамиды и шестигранной призмы.

Формула для вычисления объёма шара V = , где R- радиус шара, π ≈ 3,14

Формула для вычисления объёма цилиндра V = , где R- радиус шара, π ≈ 3,14,

h – высота цилиндра

Формула для вычисления объёма конуса V = ,

где R- радиус шара, h – высота конуса, π ≈ 3,14

Формула для вычисления объёма усечённого конуса

V = = + R

Формулы для вычисления объёма пирамиды и усечённой пирамиды

V=

h - высота пирамиды

S - площадь основания ABCDE V=

h - высота пирамиды

S_ниж - площадь нижнего основания, ABCDE

S_верх - площадь верхнего основания, abcde

История вычисления объёмов

Практическое применение геометрии начинается с древних времён. Египтяне использовали эту науку в различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов и т.п.

Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометрические сведения и задачи почти все относятся к вычислению площадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вывода тех правил, которыми пользовались египтяне для вычисления длин, площадей и объёмов; часто употреблялись правила приближённых подсчётов. Высшим достижением египетской геометрии следует считать точное вычисление объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, содержащееся в «Московском папирусе».

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долгим. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды. Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он знал общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда - о том, что объемы этих тел относятся как 3: 2. В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения. Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны только отдельные правила, найденные опытным путем. В более позднее время был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

Практическое применение формул для вычисления объёмов

Мы решили применить свои знания на практике.

1. Вычислили объёма воздуха на одного ученика в кабинете математики.

По санитарным нормам объём воздуха, приходящийся на одного ученика должен составлять 4-5. Мы решили проверить, выдерживаются ли эти нормы в кабинете математики. Измерили длину, ширину и высоту класса. Получили следующие результаты a = 7,7м, b = 6,15м, с = 3,15м.

V = 7,7. В нашем классе учится 26 человек. Вместе с учителем нас 27 человек.

Поэтому объём воздуха на одного человека равен 149 : 27 , что соответствует норме.

2. Вычислили объёма мяча.

Измерили с помощью рулетки длину окружности мяча С = 44, 5 см

С помощью формулы С = π d вычислили d d = 44,5:3,14≈14,1 см

Нашли радиус мяча R = d : 2 R=7,05см

Вычислили объём V = • 3,14• 1467 V= 1,467

3. Вычислили объём модели шестигранной пирамиды

Вычислили площадь основания пирамиды. В основании лежит правильный шестиугольник. Чтобы найти площадь, мы разбили его на 6 равных треугольников.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = a h, где а- основание треугольника, h – его высота.

а= 5,2см, h = 4,5см Sосн= 6 = 70,2

= 20см

V = = 468

4. Вычислили объём модели конуса.

Измерили радиус конуса и его высоту: R=5cм,h=14,5 см

V = = 379

5. Вычислили объём модели шестигранной призмы

Измерили высоту призмы, сторону основания призмы, разбили основание на треугольники, измерили высоту треугольника: Hпризмы = 16,5см, а=4,8см, h=4,2см

V = = 998

Мы поняли, что если тело имеет правильную геометрическую форму, то вычислить его объём не очень сложно. Для этого нужно знать формулы и значения букв, входящих в эти формулы.

А как быть, если тело не имеет правильной формы? Как вычислить объём мраморной черепашки? Мы пошли по пути великого Архимеда.

Легенда об Архимеде

«Царь Гиерон и Архимед были очень хорошими друзьями. И однажды в мысли царя закралась тень сомнения по поводуювелира, который сделал для него новую корону. Он не был уверен, что корона была из чистого золота, которое он лично отдал ювелиру на её создание. Царь поделился своими подозрениями с Архимедом, и попросил выяснить, все ли золото было использовано на создание короны. Архимеду оказалось по душе предложенная задачка, и он тут же принялся искать для нее решение. Но Архимед переоценил свои силы и никак не мог найти решение. Он почти отчаялся уже найти ответ, и решил принять ванну. Его голова все так же была занята мыслями о короне, и как только Архимед погрузился в ванну, из нее выплеснулась часть воды. Он немного подумал и понял, что вода, выплеснувшаяся из ванны равна объему его собственного тела и таким же способом можно было найти объем короны, который так необходим был для решения этой задачи. «Эврика!» – закричал Архимед.

Он тут же бросился бежать к царю Гиерону, так сказать в «чем мать родила», ведь наука не требует отлагательств. И рассказал, как можно разоблачить или доказать честность ювелира. Он приказал принести необходимые приборы и тут же провел опыт, благодаря которому узнал объем короны. Так же он узнал объем слитка, аналогичному, который получил от царя ювелир.

Таким образом он доказал виновность ювелира и открыл знаменитый« закон Архимеда».

Мы решили проверить, действительно ли объём тела равен объёму вытесняемой им жидкости.

Для этого мы вычислили объёмы двух металлических цилиндров с помощью формул, а затем нашли объём этих же цилиндров методом полного погружения их в воду.

Получили следующие результаты:

1. цилиндр:

R = 1,25см Н = 4см V = • • H =3,14 4 19,6

При погружении цилиндра в воду, объём вылившейся воды оказался равным 20 мл

1мл = 0,001 = 1 , значит объём первого цилиндра V = 20

1. цилиндр:

R = 2,1см Н = 10 см V = • • H =3,14 10 138,5

При погружении цилиндра в воду, объём вылившейся воды оказался равным

138 мл

Значит объём второго цилиндра V = 138 .

Опыты и измерения показали, что с помощью погружения тела в воду, можно с большой точностью измерить его объём.

Таким способом мы измерили объём гайки и объём черепашки

Практическое применение формул для вычисления объёмов.

Чтобы применить ту или иную формулу для вычисления объёма тела, нужно, чтобы оно имело геометрическую форму: цилиндр, шар, конус и т.д. Но часто встречаются предметы, которые не обладают идеальной с точки зрения геометрии формой (бочки, деревья и т.д). Нет ли такой универсальной формулы, по которой можно вычислить объем любого тела? Оказалось, что такая формула существует; она пригодна для любого тела (конуса, пирамиды, шара и т.д.) Эта замечательная формула известна в математике под названием формулы Симпсона. Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик. В 1743 вывел формулу приближённого интегрирования (формула Симпсона). Другие работы Симпсона посвящены элементарной геометрии, тригонометрии, анализу и теории вероятностей

Вот как выглядит эта формула: V=h/6(a+4b+c), где

h - высота тела, а-площадь нижнего основания, b-площадь среднего сечения,

с - площадь верхнего основания.

С помощью данной формулы можно найти объём ствола срубленного дерева. Этот метод вычисления объема применяется в лесной промышленности

Если сравнить объемы цилиндра, шара и куба с одинаковой площадью поверхности, то получится, что объем цилиндра больше, чем объем куба, но меньше, чем объем шара. То есть с экономической точки зрения выгоднее изготавливать ёмкости цилиндрической или шарообразной формы для хранения и перевозки веществ

( цистерны для нефти, консервные банки). Изготавливают ёмкости цилиндрической формы, т.к шарообразные неудобны в использовании.

Вывод

Велика роль геометрии в нашем современном мире. В своей практической деятельности человек часто встречается с необходимостью вычисления объёмов, например, при изготовлении каких-либо деталей или при строительстве различных сооружений. Многие строительные объекты, детали конструкций и другие предметы имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, цилиндров, шаров и т.д. Поэтому формулы для вычисления объёмов нужно знать и уметь применять при решении математических задач и в жизни.

Источники информации

1. Геометрия.10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений/Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов и др.-М.:Просвещение,2011.
2. Геометрия 7-9:учебник для общеобразовательных учреждений/Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов и др.-М.:Просвещение, 2008.
3. https://ru.wikipedia.org/wiki
4. http://www-formula.ru/index.
5. http://files.school-collection.edu.ru/