Примеры использования математики в географии

Примеры использования математики в географии

География - интересный предмет, но немыслима без математики. До второго века нашей эры география была наукой описательной, затем древнегреческий учёный Птоломей впервые использовал градусы круга и, применив градусную сеть, начертил карту, которой пользовались несколько веков.

В эфире слышатся позывные «SOS!». В море люди терпят бедствие. Их голос услышан, но как их найти? Потерпевшие сообщают свои координаты. Что это такое? А это азимуты. Опять на помощь пришла математика, ведь азимут не что иное, как сектор круга. Графики и диаграммы, которыми так богата география, - это сравнительные величины. На карте нельзя измерить расстояние, не прибегнув к математике. Математика используется в географии при:

• вычислении количества жителей населённых пунктов (например: Москва - 10,5 млн.человек)

• определении масштаба (например, масштаб карты - 1:10.000.000)

• вычислении плотности населения (например: средняя плотность населения в Европе - 65.4 чел на 1 кв.км)

• измерении высоты гор (например: г. Эльбрус - 5642 м)

• при использовании широты и долготы; при нахождении географического объекта при помощи широты и долготы (например: координаты Москвы - 55°45' с.ш.,37°37'в д.)

• при вычислении площади государств, городов (например: площадь Санкт-Петербурга - 3267,5 чел. на 1 кв.км).

Также математика используется в географии при других вычислениях и нахождениях.

§1. Масштаб

Определение масштаба в математике и географии.

• В математике: масштаб - это отношение длины отрезка на плане к длине соответствующего отрезка в натуре.

• В географии: масштаб - это дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель показывает во сколько раз уменьшили или увеличили объект. Виды масштабов: численный, именованный, линейный.

Численный выражен в виде дроби, показывает во сколько раз уменьшено изображение. Именованный - словесное указание того, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте, плане. Линейный - вспомогательная мерная линейка, наносимая на карты для облегчения измерения расстояний.

Задача 1. На карте с масштабом расстояние равно 5 см. Найдите расстояние на местности.

Решение.

5см • 50000 = 250000см = 2500м = 2,5км

Ответ: 2,5 км.

Задача 2.

Длина отрезка на карте 3 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1 : 1 000000.

Решение.

М=

Обозначим длину отрезка на местности (в сантиметрах) буквой х и найдём отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 3:х, которое и будет равно масштабу карты.

Значит, 3 : х = 1 : 1 000 000.

Решив уравнение, получим х = 3 • 1 000000 = 3 000 000. Но 3 000 000 см = = 30 000 м = 30 км.

Ответ: 30 км.

Задача 3.

Расстояние между двумя городами равно 400 км. Найдите длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1 : 5 000 000.

Решение.

400км = 400 000м = 40 000 000см 40 000 000 : 5 000 000 = 40 : 5 = 8 (см)

Ответ: 8 см.

Задача 4.

Отрезок на карте - 15 см, на местности - 45 км. Найдите масштаб карты.

Решение.

Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. 1 км = 100 000 см.

Ответ: 1: 300 000.

Задача 5.

§2. Атмосфера

Задача1. Какова высота горы, если у подножья атмосферное давление 765 мм рт.ст., а на вершине 720 мм рт.ст., если на каждые 11 км происходит понижение давления на 1 мм. рт. ст.?

Решение

1). Найдем разницу давлений: 765-720=45 мм. РТ. Ст

2). Каждые 11 км происходит понижение давления на 1 мм. рт. ст.

1 мм. рт. ст.- 11 м

45 мм. рт. ст. – x м

x = 45· 11:1=495 м

Ответ: высота горы 495 м.

С высотой в тропосфере температура понижается на 6° с каждый 1 км

Задача 2. На какую высоту поднялся самолет, если за его бортом температура -30⁰С, а у поверхности +12⁰С?

1). Найдем разницу температур: 12-(-30)=42°.

2). Каждый 1 км происходит понижение температуры на 6°С.

1 км - 6°С

x км – 42°

x = 42· 1:6= 7 км

Ответ: самолет поднялся на высоту 7 км

§3. Погода

§4. Графики, диаграммы

Круговая диаграмма распределения суши на Земле.

1 млн.км² на круговой диаграмме распределения суши на Земле соответствует сектор круга в 360°:(57 + 24 + 54 - 15) = 360°: 150 = 2,4°.

Следовательно, AOB = 57∙2,4° = 136,8° - леса, ВОС = 24∙2.4° = 57.6° - степи, COD = 54∙2.4° = 129,6° - тундры, пустыни и болота, DOA = 15∙2,4° = 36° - пашня.

§5. Уравнения, пропорции

Задача 1.

Вертолет пролетел расстояние между двумя курортами при попутном ветре за 1,5 ч, а при встречном за 2 ч. Каково расстояние между курортами, если скорость ветра была 10 км/ч?

Решение.

Пусть x км/ч- собственная скорость вертолета

1,5∙ (x+10)= 2∙ (x-10)

1,5∙ x+15=2 x-20

0,5∙ x=35

x=70

70 км/ч- собственная скорость вертолета

1). 2∙ (70 -10)= 120 (км) расстояние между курортами

Ответ: 120 км

§6. Проценты, части

§7. Экология

§8. Природные ресурсы.

Задача 1. Долгожитель среди деревьев - сосна. Возраст ее некоторых видов (горные районы Северной Америки): 4000+100 - 5000+100 лет.

Эти деревья старше эпохи египетских фараонов.

Ответ: возраст некоторых видов сосны достигает 4900 – 6000 лет.

Задачи для самостоятельного решения.

§1. Масштаб

Задача 1. На карте с масштабом 1:150 000 расстояние между деревней и станцией равно 2,8 см. Найти расстояние между ними на местности. ( Ответ: 4,2км).

Задача 2. Расстояние между г.Кемерово и Москва равно 3000 км. Масштаб 1 : 20 000 000. Найдите расстояние между городами Кемерово и Москва на карте. ( Ответ: 15 см).

Задача 3. Расстояние между двумя городами равно 400 км. Найдите длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1 : 5 000 000. ( Ответ: 8 см).

Задача 4. Если масштаб карты 1 : 400 000, то на этой карте длина каждого отрезка уменьшена в 400 000 раз.

На такой карте расстояние, равное 4 км, будет изображаться отрезком в 1 см. Объясните, что означает масштаб карты 1:12 000?

Задача 5. Переведите численный масштаб в именованный и наоборот.

а). Численный 1:1 000. (Ответ: в 1 см - 10 м)

б).1:75 000 000. (Ответ: в 1 см - 750 км)

в). Именованный в 1см - 50км. (Ответ: 1:5 000 000).

г). в 1см - 200м. (Ответ: 1:20 000).

Задача 6. Расстояние от дома до школы 300 м. Чему равна длина отрезка на чертеже, сделанном в масштабе 1 : -6000?

( Ответ: 5см).

Задача 7. . Масштаб карты 1:200000. Расстояние между двумя селами на карте 10 см. Каково расстояние между этими селами на местности?

Задача 8. Расстояние между двумя городами 40 км. Каково расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1:1000000?

Задача 9. Расстояние между городами А и В равно 150 км. Расстояние между городами А и В на карте равно 3 см. Определите масштаб карты.

Задача 10. Масштаб карты 1:1000000. Расстояние между двумя селами на карте 8 см. Каково расстояние между этими селами на местности?

Задача 11. Расстояние между двумя городами 100 км. Каково расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1:2000000?

Задача 12. Расстояние между городами А и В равно 140 км. Расстояние между городами А и В на карте равно 7 см. Определите масштаб карты.

§2. Атмосфера

С высотой в тропосфере температура понижается на 6° с каждый 1 км

Задача 1. Какова высота горы, если у подножия температура +26⁰С, а на вершине равна -10⁰С?

Задача 2. Какова температура на Памире, если в июле у подножия она составляет +36⁰С? Высота Памира 6 километров

Задача 3. Определите примерную высоту горы, если у ее подножия температура воздуха составила +16°С, а на вершине -8°С?

Задача 4. Определите температуру воздуха за бортом самолёта, который летит на высоте 7000 м, если температура на уровне моря равна + 30^оС.

Ответ: - 12^оС.

Задача 5. Вычислите среднюю температуру дня и амплиту-ду по следующим показателям:

1 ч. – -10^оС; 7 ч. – -12^оС; 13 ч. – -2^оС; 19 ч. – - 6^оС.

Ответ: (-10 -12 -2 - 6) : 4 = - 7,5^оС, 10^оС

Задача 6. Естественным биофильтром атмосферного воздуха являются зеленые насаждения города, которые занимают 1/3 территории Уфы. Это 17 парков, 5 садов, 93 сквера и бульвара, всего 115 объектов. Площадь города 765 кв.км. 1га зеленых насаждений способен отфильтровать за год 70 тонн пыли. Какова общая площадь зеленых насаждений и сколько тонн пыли она отфильтрует за год? Ответ: (255 кв. км = 25 500 га, 1 785 000 тонн).

Задаача7. На вершине горы высотой 3,5 км барометр показал 720 мм.рт.ст. Каково давление у подножья?

Задача 1. Шахта глубиной 200 м, на поверхности атмосферное давление 752 мм рт.ст. Найти давление на дне шахты.

Задача 2. Летчик поднялся на высоту 2 км. Каково атмосферное давление воздуха на этой высоте, если у поверхности земли оно равнялось 750 мм рт.ст.

Задача 10. На дне шахты барометр зафиксировал давление 780 мм рт.ст., у поверхности земли - 76-мм рт.ст. Найдите глубину шахты.

§3. Погода

Задача №1. 18 октября самая высокая температура воздуха амплитуду колебаний температур.

Задача №2. Средняя температура самого теплого месяца в году составила +22 С, а самого холодного -14 С. Какова годовая амплитуда температур?

Задача №3. В один из летних дней столбик термометра поднялся до 36° С, амплитуда колебаний температуры в этот день составила 12 С. Определите самую низкую температуру.

Задача №4. Погода нашей местности неустойчивая со сменой температур воздуха. Давайте, ребята, устно посчитаем, какие значения может принимать температура воздуха.

§4. Графики, диаграммы

1. 30% поверхности земного шара занимает литосфера (твердая оболочка). Остальная часть - гидросфера ( водная поверхность). Изобразить это соотношение в виде круговой диаграммы.

2. На круговой диаграмме показано распределение населения по видам предпринимательской деятельности. Определите по диаграмме каким видом деятельности занята наибольшая часть предпринимателей.

3.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления во вторник

( Ответ: 751 мм рт. ст)

4. На диаграмме приведены данные о протяжённости восьми крупнейших рек России. Первое место по протяжённости занимает Лена. На каком месте по протяжённости находится Амур?

Ответ: 7

5. Hа графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в километрах) давление составит 540 миллиметров ртутного столба?

§5. Уравнения, пропорции

Задача 1. После того, как пешеход прошел 1км и половину оставшегося пути, ему осталось еще пройти треть оставшегося пути и еще l км. Чему равен весь путь?

§6. Проценты, части

Задача 1. Теплоход вмещает 246 пассажиров. Какую часть все пассажиров составит группа вашего класса из 25 человек?

(Ответ выразить в процентах)

Задача 2. В разрабатываемых месторождениях никеля в Новохоперском районе предполагается добыть 4500тыс.тонн руды. Сколько планируют добыть чистого никеля, если в руде его порядка 10 %?

Задача 3. В Байкале находится 23 000 км^З чистейшей, поразительно вкусной, холодной, предельно насыщенной кислородом животворной воды, что составляет 25% мировых ресурсов и на 7% меньше, чем в пяти великих американских озерах вместе взятых. Найдите численность мировых ресурсов и объем пресной воды в пяти озерах

(92000 к м³, 28750 км^З ).

Задача 4. Суша занимает 150 млн кв. км, что составляет 30% поверхности Земли. Какова площадь всей поверхности Земли? Какова площадь поверхности. покрытой водой?

Задача 5. Любимая река России -это Волга. Ее протяженность 3530 км. Путешественники проплыли 1/5 длину реки. Какой путь проплыли путешественники?

Задача 6. В феврале 2013 года в городе Уфе выпало рекордное количество снега. В первую неделю выпало 20% всего снега, во вторую – на 25% больше, чем в первую, в третью выпало столько, сколько за первые две недели вместе, а в четвертую – остальные 15 мм. Сколько всего миллиметров снега выпало в городе Уфе в феврале? (Ответ: 150мм)

Задача 7. В воду ежегодно сбрасывается 55 км³ сточных вод. Из них очищается только 10%. Какой объем воды будет очищен?

Ответ: 5,5 км³