Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – 1 = 0

Пример 1: Решим уравнение

2 sin² x + sin x – 1 = 0

Решение.

Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем обычное квадратное уравнение:

2y² + y – 1 = 0.

Решаем его:

D = b² – 4ac = 1 – 4 ? 2 ? (–1) = 1 + 8 = 9

√D = 3

         –b + √D         –1 + 3      1 y₁ = ————  =  ——— = —              2a                  4          2

         –1 – 3 y₂ = ——— = –1             4

Таким образом:

            1 sin x = —   и   sin x = –1             2

Поскольку речь идет о синусе, то подставляем эти значения в формулы с арксинусом, вычисляем значения арксинусов и находим значения x:

1) x = (–1)ⁿ arcsin a + πk  =  (–1)ⁿ arcsin 1/2 + πk  =  (–1)ⁿ π/6 + πk

2) x = arcsin а + 2πn  = arcsin (–1) + 2πn = –π/2 + 2πn

Ответ:  x = (–1)ⁿ π/6 + πk,  k ∈ Z x = –π/2 + 2πn,  n ∈ Z